d4-ifym2017-10-4 | maths.bg

Да се докаже, че ако съществуват естествени числа

a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2017}

, за които произведението

\left(a_{1}^{2017}+a_{2}\right)\left(a_{2}^{2017}+a_{3}\right) \ldots\left(a_{2016}^{2017}+a_{2017}\right)\left(a_{2017}^{2017}+a_{1}\right)

е точна степен на просто число с показател

k

, то

k=2018

или

k \geq 2017 \cdot 2018

Бележка към материала

Да се докаже, че ако съществуват естествени числа

a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{2017}

, за които произведението

\left(a_{1}^{2017}+a_{2}\right)\left(a_{2}^{2017}+a_{3}\right) \ldots\left(a_{2016}^{2017}+a_{2017}\right)\left(a_{2017}^{2017}+a_{1}\right)

е точна степен на просто число с показател

k

, то

k=2018

или

k \geq 2017 \cdot 2018

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Още задачи при скрол