emt2012-8-1 | maths.bg

Да се намерят стойностите на параметьра

a

, при които за всяко реално

x

е в сила неравенството

x^{3}+a^{3} \leq(x+a)^{3}-3 a(x-1)^{2}

Бележка към материала

Да се намерят стойностите на параметьра

a

, при които за всяко реално

x

е в сила неравенството

x^{3}+a^{3} \leq(x+a)^{3}-3 a(x-1)^{2}

В пространството са дадени правоъгълен

\triangle A B C

с хипотенуза

A B

и равнина

\tau

. Нека

\alpha=\angle(A C, \tau), \beta=\angle(B C, \tau)

\varphi=\angle(A B C, \tau)

. a) Да се докаже, че

\sin ^{2} \varphi=\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta

. б) Ако

\alpha+\beta=60^{\circ}

, да се намери най-малката стойност на

\varphi

Във вътрещността на четириъгълник

A B C D

е избрана точка

X

така, че

A B X

C D X

са равностранни триъгълници. Ако

P, Q

R

са среди съответно на отсечките

B C

D X

A X

да се намери ъгъл

R P Q

Да се намерят всички стойности на реалния параметър

k

така, че за всеки три реални числа

a, b

c

, за които

a b+b c+c a=0

a^{2} \neq k b c, b^{2} \neq k a c, c^{2} \neq k a b

, е вярно равенството

\frac{1}{a^{2}-k b c}+\frac{1}{b^{2}-k a c}+\frac{1}{c^{2}-k a b}=0

\triangle A B C

ъглополовящата

C L, L \in A B

, пресича описаната около триъгълника окръжност в точка

P

. Точката

T

лежи върху отсечката

L P

\frac{C L}{C P}= \left(\frac{L T}{T P}\right)^{2}

. Да се докаже, че: a)

C T=\sqrt{\vphantom{x^2}A C \cdot B C}

; б)

\angle A T B=180^{\circ}-\frac{1}{2} \angle A C B

Да се намерят стойностите на реалния параметър

a

, за които графиките на функциите

f(x)=x^{2}+a

g(x)=x^{3}

имат точно една обща допирателна.

Още задачи при скрол