emt2014-8-4 | maths.bg

Ани начертала на бял лист 88 отсечки. Колко най-много равностранни триъгълници може да има на листа? Отговорът да се обоснове.

BLANK BLANK BLANK

Определете последните четири цифри на точен квадрат на естествено число, ако знаете, че последните три от тях са еднакви.

Даден е триъгълник

A B C

с

\angle A B C=50^{\circ}

. Нека

M

и

N

са средите съответно на

A C

и

B C, P

е средата на

B M

и

Q

е средата на

C M

. Известно е, че съществува правоъгълен триъгълник с дължини на страните, равни на дължините на отсечките

C P, B Q

и

M N

. Да се намери ъгъла между правите

C P

и

A B

.

Да се намери най-малкото число

m

така, че с всеки пет равностранни триъгълника със сума на лицата

m

може да се покрие равностранен триъгълник с лице 1.

Даден е триъгълник

A B C

, за който

A B=c, B C=a, A C=b

и

\angle B A C=80^{\circ}

. Върху страната

A B

е избрана точка

M

, такава че

\angle A M C=70^{\circ}

. Ако

A M+A C=B C

, да се докаже, че

a^{2}=b(b+c).