emt2016-12-3 | maths.bg

Даден е тетраедър

A B C D

и вътрешна за него точка

O

. Означаваме с

d_{1}, d_{2}, d_{3}

d_{4}

разстоянията от

O

съответно до върховете

A, B, C

D

и с

k_{1}, k_{2}, k_{3}

k_{4}

разстоянията от точка

O

съответно до стените

B C D, A C D, A B D

A B C

. Да се докаже, че:

d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4} \geq 2\left(\sqrt{\vphantom{x^2}k_{1} k_{2}}+\sqrt{\vphantom{x^2}k_{1} k_{3}}+\sqrt{\vphantom{x^2}k_{1} k_{4}}+\sqrt{\vphantom{x^2}k_{2} k_{3}}+\sqrt{\vphantom{x^2}k_{2} k_{4}}+\sqrt{\vphantom{x^2}k_{3} k_{4}}\right)

Кога се достига равенство?

Бележка към материала

Даден е тетраедър

A B C D

и вътрешна за него точка

O

. Означаваме с

d_{1}, d_{2}, d_{3}

d_{4}

разстоянията от

O

съответно до върховете

A, B, C

D

и с

k_{1}, k_{2}, k_{3}

k_{4}

разстоянията от точка

O

съответно до стените

B C D, A C D, A B D

A B C

. Да се докаже, че:

d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4} \geq

2\left(\sqrt{\vphantom{x^2}k_{1} k_{2}}+\sqrt{\vphantom{x^2}k_{1} k_{3}}+\sqrt{\vphantom{x^2}k_{1} k_{4}}+\sqrt{\vphantom{x^2}k_{2} k_{3}}+\sqrt{\vphantom{x^2}k_{2} k_{4}}+\sqrt{\vphantom{x^2}k_{3} k_{4}}\right)

Кога се достига равенство?

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Още задачи при скрол