maths.bg | Задачи и решения по математика от състезания

Нека m е естествено число, а p е просто число,

\mathrm{p}\gt{}\mathrm{m}

. Да се докаже, че броя на естествените числа n, за които

\mathrm{m}^{2}+\mathrm{n}^{2}+\mathrm{p}^{2}-2 \mathrm{mn}-2 \mathrm{mp}-2 \mathrm{np}

е точен квадрат на естествено число не зависи от р.

Точките

A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}

лежат в кръг с радиус 1. Точките

B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n}

са такива, че

B_{i} B_{j}\lt{}A_{i} A_{j}

за

i \neq j

. Винаги ли е вярно, че точките

B_{1}, B_{2}, \ldots, B_{n}

лежат в някакъв кръг с радиус, по-малък от единица?

Даден е вписан четириъгълник

A B C D

с пресечна точка на диагоналите

F

. Нека правите

A B

C D

се пресичат в точка

P

, а точка

M

е от лъча

P D^{\rightarrow}

, такава, че

P A \cdot A B=P M. C D

. Ако

N

е симетричната точка на

M

относно

P

, то да се докаже, че

P F \| A N

Нека

a

b

са реални положителни числа. Да се докаже, че редицата

\left\{u_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}

, зададена с

u_{1}=\sqrt{\vphantom{x^2}a}, \quad u_{n+1}=\sqrt{\vphantom{x^2}a+b u_{n}},

е сходяща и да се намери границата

\lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}

Да се докаже, че за всяко реално число

d\gt{}1

съществуват безбройно много естествени числа

n

със следното свойство: в интервала

\left[n^{2}, n^{2}+n+d \sqrt{\vphantom{x^2}n}\right.

] съществуват три различни цели числа

a, b

c

, такива, че

c

дели

a b

Дадени са реални числа

\left\{x_{i}\right\}_{i=1}^{n}

, такива че

\left(x_{1}-n\right)^{2}+\left(x_{2}-n\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}-n\right)^{2}=n^{2}, \quad n \geq 3.

Да се докаже, че

\frac{x_{1}}{x_{2}^{2}+n^{2}}+\frac{x_{2}}{x_{3}^{2}+n^{2}}+\cdots+\frac{x_{n}}{x_{1}^{2}+n^{2}}\gt{}\frac{n-1}{2 n}.

Още задачи при скрол