ISL 2005 C1 | maths.bg

В една къща има четен брой лампи, разпределени по стаите така, че във всяка стая има поне три лампи. Всяка лампа има общ ключ с точно една друга лампа, която не е задължително да е в същата стая; натискането на този ключ сменя едновременно състоянието на двете лампи. Докажете, че от всяко начално състояние на лампите може да се натисне подходяща редица от ключове така, че накрая във всяка стая да има както светеща, така и несветеща лампа.

Бележка към материала

В една къща има четен брой лампи, разпределени по стаите така, че във всяка стая има поне три лампи. Всяка лампа има общ ключ с точно една друга лампа, която не е задължително да е в същата стая; натискането на този ключ сменя едновременно състоянието на двете лампи. Докажете, че от всяко начално състояние на лампите може да се натисне подходяща редица от ключове така, че накрая във всяка стая да има както светеща, така и несветеща лампа.

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

.

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

.

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

и

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Още задачи при скрол