ISL 2005 C3 | maths.bg

Дадена е правоъгълна дъска

m\times n

, разделена на

mn

единични квадратчета. Две квадратчета са съседни, ако имат обща страна, а път е редица от квадратчета, в която всеки две последователни квадратчета са съседни. Всяко квадратче може да бъде оцветено в черно или бяло. Нека

N

е броят на оцветяванията, при които съществува поне един черен път от левия край на дъската до десния край, а

M

- броят на оцветяванията, при които съществуват поне два непресичащи се черни пътя от левия край до десния край. Докажете, че

N^2\ge 2^{mn}M.

Бележка към материала

Дадена е правоъгълна дъска

m\times n

, разделена на

mn

единични квадратчета. Две квадратчета са съседни, ако имат обща страна, а път е редица от квадратчета, в която всеки две последователни квадратчета са съседни. Всяко квадратче може да бъде оцветено в черно или бяло. Нека

N

е броят на оцветяванията, при които съществува поне един черен път от левия край на дъската до десния край, а

M

- броят на оцветяванията, при които съществуват поне два непресичащи се черни пътя от левия край до десния край. Докажете, че

N^2\ge 2^{mn}M.

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

.

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

.

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

и

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол