ISL 2006 N3 | maths.bg

Редицата

f(1),f(2),f(3),\ldots

е дефинирана чрез

f(n)=\frac1n\left(\left\lfloor\frac n1\right\rfloor+\left\lfloor\frac n2\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac nn\right\rfloor\right),

където

\lfloor x\rfloor

означава цялата част на

x

. а) Докажете, че

f(n+1)\gt{}f(n)

за безброй много

n

. б) Докажете, че

f(n+1)\lt{}f(n)

за безброй много

n

Бележка към материала

Редицата

f(1),f(2),f(3),\ldots

е дефинирана чрез

f(n)=\frac1n\left(\left\lfloor\frac n1\right\rfloor+\left\lfloor\frac n2\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac nn\right\rfloor\right),

където

\lfloor x\rfloor

означава цялата част на

x

. а) Докажете, че

f(n+1)\gt{}f(n)

за безброй много

n

. б) Докажете, че

f(n+1)\lt{}f(n)

за безброй много

n

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Още задачи при скрол