ISL 2008 C5 | maths.bg

Нека

S=\{x_1,x_2,\ldots,x_{k+\ell}\}

е множество от

k+\ell

реални числа в интервала

[0,1]

, където

k

\ell

са положителни цели числа. Едно

k

-елементно подмножество

A\subset S

се нарича хубаво, ако

\left|\frac1k\sum_{x_i\in A}x_i-\frac1\ell\sum_{x_j\in S\setminus A}x_j\right|\le\frac{k+\ell}{2k\ell}.

Докажете, че броят на хубавите подмножества е поне

\frac{2}{k+\ell}\binom{k+\ell}{k}.

Бележка към материала

Нека

S=\{x_1,x_2,\ldots,x_{k+\ell}\}

е множество от

k+\ell

реални числа в интервала

[0,1]

, където

k

\ell

са положителни цели числа. Едно

k

-елементно подмножество

A\subset S

се нарича хубаво, ако

\left|\frac1k\sum_{x_i\in A}x_i-\frac1\ell\sum_{x_j\in S\setminus A}x_j\right|\le

\frac{k+\ell}{2k\ell}.

Докажете, че броят на хубавите подмножества е поне

\frac{2}{k+\ell}\binom{k+\ell}{k}.

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Още задачи при скрол