ISL 2009 C2 | maths.bg

За всяко цяло число

n\ge2

нека

N(n)

е максималният брой на тройки

(a_i,b_i,c_i)

i=1,\ldots,N(n)

, съставени от неотрицателни цели числа

a_i,b_i,c_i

, за които са изпълнени условията: (1)

a_i+b_i+c_i=n

за всяко

i=1,\ldots,N(n)

; (2) ако

i\ne j

, то

a_i\ne a_j

b_i\ne b_j

c_i\ne c_j

. Определете

N(n)

за всяко

n\ge2

Бележка към материала

За всяко цяло число

n\ge2

нека

N(n)

е максималният брой на тройки

(a_i,b_i,c_i)

i=1,\ldots,N(n)

, съставени от неотрицателни цели числа

a_i,b_i,c_i

, за които са изпълнени условията: (1)

a_i+b_i+c_i=n

за всяко

i=1,\ldots,N(n)

; (2) ако

i\ne j

, то

a_i\ne a_j

b_i\ne b_j

c_i\ne c_j

. Определете

N(n)

за всяко

n\ge2

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол