ISL 2009 C3 | maths.bg

Нека

n

е положително цяло число. Дадена е редица

\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_{n-1}

, където

\varepsilon_i=0

или

\varepsilon_i=1

за всяко

i=1,\ldots,n-1

. Редиците

a_0,\ldots,a_n

b_0,\ldots,b_n

се построяват по правилата

\begin{gathered} a_0=b_0=1,\qquad a_1=b_1=7,\\ a_{i+1}=\begin{cases}2a_{i-1}+3a_i,&\text{ако }\varepsilon_i=0,\\3a_{i-1}+a_i,&\text{ако }\varepsilon_i=1,\end{cases}\quad i=1,\ldots,n-1,\\ b_{i+1}=\begin{cases}2b_{i-1}+3b_i,&\text{ако }\varepsilon_{n-i}=0,\\3b_{i-1}+b_i,&\text{ако }\varepsilon_{n-i}=1,\end{cases}\quad i=1,\ldots,n-1. \end{gathered}

Докажете, че

a_n=b_n

Бележка към материала

Нека

n

е положително цяло число. Дадена е редица

\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_{n-1}

, където

\varepsilon_i=0

или

\varepsilon_i=1

за всяко

i=1,\ldots,n-1

. Редиците

a_0,\ldots,a_n

b_0,\ldots,b_n

се построяват по правилата

\begin{gathered} a_0=b_0=1,\qquad a_1=b_1=7,\\ a_{i+1}=\begin{cases}2a_{i-1}+3a_i,&\text{ако }\varepsilon_i=0,\\3a_{i-1}+a_i,&\text{ако }\varepsilon_i=1,\end{cases}\quad i=1,\ldots,n-1,\\ b_{i+1}=\begin{cases}2b_{i-1}+3b_i,&\text{ако }\varepsilon_{n-i}=0,\\3b_{i-1}+b_i,&\text{ако }\varepsilon_{n-i}=1,\end{cases}\quad i=1,\ldots,n-1. \end{gathered}

Докажете, че

a_n=b_n

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол