ISL 2010 C4 | maths.bg

Шест купчини

S_1,S_2,\ldots,S_6

от монети са наредени в редица. В началото всяка купчина съдържа по една монета. Позволени са два вида ходове: Ход 1: ако купчината

S_k

, където

1\le k\le5

, съдържа поне една монета, може да премахнем една монета от

S_k

и да добавим две монети към

S_{k+1}

. Ход 2: ако купчината

S_k

, където

1\le k\le4

, съдържа поне една монета, може да премахнем една монета от

S_k

и да разменим купчините

S_{k+1}

S_{k+2}

. Възможно ли е чрез редица от такива ходове първите пет купчини да станат празни, а шестата купчина

S_6

да съдържа точно

2010^{2010^{2010}}

монети?

Бележка към материала

Шест купчини

S_1,S_2,\ldots,S_6

S_k

, където

1\le k\le5

, съдържа поне една монета, може да премахнем една монета от

S_k

и да добавим две монети към

S_{k+1}

. Ход 2: ако купчината

S_k

, където

1\le k\le4

, съдържа поне една монета, може да премахнем една монета от

S_k

и да разменим купчините

S_{k+1}

S_{k+2}

. Възможно ли е чрез редица от такива ходове първите пет купчини да станат празни, а шестата купчина

S_6

да съдържа точно

2010^{2010^{2010}}

монети?

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол