ISL 2011 A4 | maths.bg

Да се определят всички двойки

(f,g)

от функции от множеството на положителните цели числа в себе си, които удовлетворяват

f^{g(n)+1}(n)+g^{f(n)}(n)=f(n+1)-g(n+1)+1

за всяко положително цяло число

n

. Тук

f^k(n)

означава

f(f(\ldots f(n)\ldots))

k

приложения на

f

Бележка към материала

Да се определят всички двойки

(f,g)

от функции от множеството на положителните цели числа в себе си, които удовлетворяват

f^{g(n)+1}(n)+g^{f(n)}(n)=f(n+1)-g(n+1)+1

за всяко положително цяло число

n

. Тук

f^k(n)

означава

f(f(\ldots f(n)\ldots))

k

приложения на

f

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Още задачи при скрол