ISL 2012 N5 | maths.bg

За неотрицателно цяло число

n

дефинираме

\operatorname{rad}(n)=1

, ако

n=0

или

n=1

, и

\operatorname{rad}(n)=p_1p_2\cdots p_k

, където

p_1\lt{}p_2\lt{}\cdots\lt{}p_k

са всички прости делители на

n

. Намерете всички полиноми

f(x)

с неотрицателни цели коефициенти, за които

\operatorname{rad}(f(n))

дели

\operatorname{rad}\left(f\left(n^{\operatorname{rad}(n)}\right)\right)

за всяко неотрицателно цяло число

n

Бележка към материала

За неотрицателно цяло число

n

дефинираме

\operatorname{rad}(n)=1

, ако

n=0

или

n=1

, и

\operatorname{rad}(n)=p_1p_2\cdots p_k

, където

p_1\lt{}p_2\lt{}\cdots\lt{}p_k

са всички прости делители на

n

. Намерете всички полиноми

f(x)

с неотрицателни цели коефициенти, за които

\operatorname{rad}(f(n))

дели

\operatorname{rad}\left(f\left(n^{\operatorname{rad}(n)}\right)\right)

за всяко неотрицателно цяло число

n

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Още задачи при скрол