ISL 2013 A4 | maths.bg

Нека

n

е положително цяло число и нека

a_1,a_2,\ldots,a_n

е редица от положителни цели числа. Продължаваме я периодично до безкрайна редица чрез

a_{n+i}=a_i

за всяко

i\ge1

. Ако

a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le a_1+n

a_{a_i}\le n+i-1\qquad(i=1,2,\ldots,n),

докажете, че

a_1+a_2+\cdots+a_n\le n^2.

Бележка към материала

Нека

n

е положително цяло число и нека

a_1,a_2,\ldots,a_n

е редица от положителни цели числа. Продължаваме я периодично до безкрайна редица чрез

a_{n+i}=a_i

за всяко

i\ge1

. Ако

a_1\le a_2\le\cdots\le a_n\le a_1+n

a_{a_i}\le n+i-1\qquad(i=1,2,\ldots,n),

докажете, че

a_1+a_2+\cdots+a_n\le n^2.

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Още задачи при скрол