ISL 2014 A2 | maths.bg

Дефинираме функцията

f:(0,1)\to(0,1)

чрез

f(x)=\begin{cases}x+\frac12,&\text{ако }x\lt{}\frac12,\\x^2,&\text{ако }x\ge\frac12.\end{cases}

Нека

a

b

са реални числа с

0\lt{}a\lt{}b\lt{}1

. Дефинираме редиците

a_n

b_n

чрез

a_0=a

b_0=b

a_n=f(a_{n-1})

b_n=f(b_{n-1})

за

n\gt{}0

. Докажете, че съществува положително цяло число

n

, за което

(a_n-a_{n-1})(b_n-b_{n-1})\lt{}0.

Бележка към материала

Дефинираме функцията

f:(0,1)\to(0,1)

чрез

f(x)=\begin{cases}x+\frac12,&\text{ако }x\lt{}\frac12,\\x^2,&\text{ако }x\ge\frac12.\end{cases}

Нека

a

b

са реални числа с

0\lt{}a\lt{}b\lt{}1

. Дефинираме редиците

a_n

b_n

чрез

a_0=a

b_0=b

a_n=f(a_{n-1})

b_n=f(b_{n-1})

за

n\gt{}0

. Докажете, че съществува положително цяло число

n

, за което

(a_n-a_{n-1})(b_n-b_{n-1})\lt{}0.

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Още задачи при скрол