ISL 2014 C5 | maths.bg

Дадени са

n\ge3

прави в равнината, като никои две не са успоредни и никои три не минават през една точка. Тези прави разделят равнината на многоъгълни области; нека

\mathcal F

е множеството от областите с крайно лице. Докажете, че е възможно да се оцветят

\left\lceil\sqrt{\vphantom{x^2}n/2}\right\rceil

от правите в синьо така, че никоя област от

\mathcal F

да няма изцяло синя граница. Тук

\lceil x\rceil

означава най-малкото цяло число, което не е по-малко от

x

Бележка към материала

Дадени са

n\ge3

\mathcal F

е множеството от областите с крайно лице. Докажете, че е възможно да се оцветят

\left\lceil\sqrt{\vphantom{x^2}n/2}\right\rceil

от правите в синьо така, че никоя област от

\mathcal F

да няма изцяло синя граница. Тук

\lceil x\rceil

означава най-малкото цяло число, което не е по-малко от

x

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Още задачи при скрол