ISL 2015 N4 | maths.bg

Нека

a_0,a_1,\ldots

b_0,b_1,\ldots

са две редици от положителни цели числа, за които

a_0,b_0\ge2

a_{n+1}=\gcd(a_n,b_n)+1,\qquad b_{n+1}=\operatorname{lcm}(a_n,b_n)-1

за всяко

n\ge0

. Докажете, че редицата

(a_n)

е периодична от някое място нататък; с други думи, съществуват цели числа

N\ge0

t\gt{}0

, за които

a_{n+t}=a_n

за всяко

n\ge N

Бележка към материала

Нека

a_0,a_1,\ldots

b_0,b_1,\ldots

са две редици от положителни цели числа, за които

a_0,b_0\ge2

a_{n+1}=\gcd(a_n,b_n)+1,\qquad b_{n+1}=\operatorname{lcm}(a_n,b_n)-1

за всяко

n\ge0

. Докажете, че редицата

(a_n)

е периодична от някое място нататък; с други думи, съществуват цели числа

N\ge0

t\gt{}0

, за които

a_{n+t}=a_n

за всяко

n\ge N

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Още задачи при скрол