ISL 2015 N6 | maths.bg

Нека

\mathbb Z_{\gt{}0}

е множеството на положителните цели числа. Разглеждаме функция

f:\mathbb Z_{\gt{}0}\to\mathbb Z_{\gt{}0}

. За

m,n\in\mathbb Z_{\gt{}0}

означаваме с

f^n(m)

n

-кратното прилагане на

f

върху

m

. Да предположим, че

f

има следните две свойства: (i) ако

m,n\in\mathbb Z_{\gt{}0}

, то

\frac{f^n(m)-m}{n}\in\mathbb Z_{\gt{}0};

(ii) множеството

\mathbb Z_{\gt{}0}\setminus\{f(n)\mid n\in\mathbb Z_{\gt{}0}\}

е крайно. Докажете, че редицата

f(1)-1,\ f(2)-2,\ f(3)-3,\ldots

е периодична.

Бележка към материала

Нека

\mathbb Z_{\gt{}0}

е множеството на положителните цели числа. Разглеждаме функция

f:\mathbb Z_{\gt{}0}\to\mathbb Z_{\gt{}0}

. За

m,n\in\mathbb Z_{\gt{}0}

означаваме с

f^n(m)

n

-кратното прилагане на

f

върху

m

. Да предположим, че

f

има следните две свойства: (i) ако

m,n\in\mathbb Z_{\gt{}0}

, то

\frac{f^n(m)-m}{n}\in\mathbb Z_{\gt{}0};

(ii) множеството

\mathbb Z_{\gt{}0}\setminus\{f(n)\mid n\in\mathbb Z_{\gt{}0}\}

е крайно. Докажете, че редицата

f(1)-1,\ f(2)-2,\ f(3)-3,\ldots

е периодична.

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол