ISL 2015 N8 | maths.bg

За всяко положително цяло число

n

с разлагане на прости множители

n=\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}

дефинираме

\Omega_{\gt{}10^{100}}(n)=\sum_{i:p_i\gt{}10^{100}}\alpha_i.

Тоест

\Omega_{\gt{}10^{100}}(n)

е броят на простите множители на

n

, по-големи от

10^{100}

, броени с кратност. Да се намерят всички строго растящи функции

f:\mathbb Z\to\mathbb Z

, за които

\Omega_{\gt{}10^{100}}(f(a)-f(b))\le\Omega_{\gt{}10^{100}}(a-b)

за всички цели числа

a

b

a\gt{}b

Бележка към материала

За всяко положително цяло число

n

с разлагане на прости множители

n=\prod_{i=1}^k p_i^{\alpha_i}

дефинираме

\Omega_{\gt{}10^{100}}(n)=\sum_{i:p_i\gt{}10^{100}}\alpha_i.

Тоест

\Omega_{\gt{}10^{100}}(n)

е броят на простите множители на

n

, по-големи от

10^{100}

, броени с кратност. Да се намерят всички строго растящи функции

f:\mathbb Z\to\mathbb Z

, за които

\Omega_{\gt{}10^{100}}(f(a)-f(b))\le\Omega_{\gt{}10^{100}}(a-b)

за всички цели числа

a

b

a\gt{}b

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол