ISL 2017 C7 | maths.bg

За всеки крайни множества

X

Y

от положителни цели числа означаваме с

f_X(k)

k

-тото най-малко положително цяло число, което не принадлежи на

X

, и полагаме

X\star Y=X\cup\{f_X(y):y\in Y\}.

Нека

A

е множество от

a\gt{}0

положителни цели числа, а

B

е множество от

b\gt{}0

положителни цели числа. Докажете, че ако

A\star B=B\star A

, то

\underbrace{A\star(A\star\cdots\star(A\star A))}_{A\text{ участва }b\text{ пъти}}=\underbrace{B\star(B\star\cdots\star(B\star B))}_{B\text{ участва }a\text{ пъти}}.

Бележка към материала

За всеки крайни множества

X

Y

от положителни цели числа означаваме с

f_X(k)

k

-тото най-малко положително цяло число, което не принадлежи на

X

, и полагаме

X\star Y=X\cup\{f_X(y):y\in Y\}.

Нека

A

е множество от

a\gt{}0

положителни цели числа, а

B

е множество от

b\gt{}0

положителни цели числа. Докажете, че ако

A\star B=B\star A

, то

\underbrace{A\star(A\star\cdots\star(A\star A))}_{A\text{ участва }b\text{ пъти}}=

\underbrace{B\star(B\star\cdots\star(B\star B))}_{B\text{ участва }a\text{ пъти}}.

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол