ISL 2017 N2 | maths.bg

Нека

p\ge2

е просто число. Едуардо и Фернандо играят следната игра, като се редуват. На всеки ход текущият играч избира индекс

i\in\{0,1,\ldots,p-1\}

, който не е бил избран преди това от никого, и след това избира елемент

a_i\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

. Едуардо играе първи. Играта приключва, когато всички индекси

i\in\{0,1,\ldots,p-1\}

са избрани. Тогава се пресмята числото

M=a_0+10a_1+\cdots+10^{p-1}a_{p-1}=\sum_{j=0}^{p-1}a_j10^j.

Целта на Едуардо е да направи

M

делимо на

p

, а целта на Фернандо е да предотврати това. Докажете, че Едуардо има печеливша стратегия.

Бележка към материала

Нека

p\ge2

i\in\{0,1,\ldots,p-1\}

, който не е бил избран преди това от никого, и след това избира елемент

a_i\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

. Едуардо играе първи. Играта приключва, когато всички индекси

i\in\{0,1,\ldots,p-1\}

са избрани. Тогава се пресмята числото

M=a_0+10a_1+\cdots+10^{p-1}a_{p-1}=\sum_{j=0}^{p-1}a_j10^j.

Целта на Едуардо е да направи

M

делимо на

p

, а целта на Фернандо е да предотврати това. Докажете, че Едуардо има печеливша стратегия.

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол