ISL 2017 N7 | maths.bg

Ще наричаме наредена двойка

(x,y)

от цели числа неприводима решетъчна точка, ако

x

y

са взаимнопрости. За всяко крайно множество

S

от неприводими решетъчни точки докажете, че съществува хомогенен полином

f(x,y)

с цели коефициенти, от степен поне

1

, такъв, че

f(x,y)=1

за всяко

(x,y)\in S

. Бележка. Хомогенен полином от степен

n

е всеки ненулев полином от вида

f(x,y)=a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n.

Бележка към материала

Ще наричаме наредена двойка

(x,y)

от цели числа неприводима решетъчна точка, ако

x

y

са взаимнопрости. За всяко крайно множество

S

от неприводими решетъчни точки докажете, че съществува хомогенен полином

f(x,y)

с цели коефициенти, от степен поне

1

, такъв, че

f(x,y)=1

за всяко

(x,y)\in S

. Бележка. Хомогенен полином от степен

n

е всеки ненулев полином от вида

f(x,y)=

a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2

+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n.

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол