ISL 2017 N8 | maths.bg

Нека

p

е нечетно просто число и нека

\mathbb Z_{\gt{}0}

е множеството на положителните цели числа. Нека функция

f:\mathbb Z_{\gt{}0}\times\mathbb Z_{\gt{}0}\to\{0,1\}

удовлетворява: -

f(1,1)=0

; -

f(a,b)+f(b,a)=1

за всяка двойка взаимнопрости положителни цели числа

(a,b)

, различна от

(1,1)

; -

f(a+b,b)=f(a,b)

за всяка двойка взаимнопрости положителни цели числа

(a,b)

. Докажете, че

\sum_{n=1}^{p-1} f(n^2,p)\ge\sqrt{\vphantom{x^2}2p}-2.

Бележка към материала

Нека

p

е нечетно просто число и нека

\mathbb Z_{\gt{}0}

е множеството на положителните цели числа. Нека функция

f:\mathbb Z_{\gt{}0}\times\mathbb Z_{\gt{}0}\to\{0,1\}

удовлетворява: -

f(1,1)=0

; -

f(a,b)+f(b,a)=1

за всяка двойка взаимнопрости положителни цели числа

(a,b)

, различна от

(1,1)

; -

f(a+b,b)=f(a,b)

за всяка двойка взаимнопрости положителни цели числа

(a,b)

. Докажете, че

\sum_{n=1}^{p-1} f(n^2,p)\ge\sqrt{\vphantom{x^2}2p}-2.

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол