ISL 2018 N4 | maths.bg

Нека

a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots

е редица от положителни цели числа такава, че

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}

е цяло число за всяко

n\ge k

, където

k

е някое положително цяло число. Докажете, че съществува положително цяло число

m

, за което

a_n=a_{n+1}

за всяко

n\ge m

Бележка към материала

Нека

a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots

е редица от положителни цели числа такава, че

\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}

е цяло число за всяко

n\ge k

, където

k

е някое положително цяло число. Докажете, че съществува положително цяло число

m

, за което

a_n=a_{n+1}

за всяко

n\ge m

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Още задачи при скрол