ISL 2019 C6 | maths.bg

Нека

n\gt{}1

е цяло число. Дадени са

2n

точки в равнината, никои три от които не са колинеарни. Точките трябва да се означат с

A_1,A_2,\ldots,A_{2n}

в някакъв ред. След това разглеждаме

2n

-те ъгъла

\angle A_1A_2A_3,\ \angle A_2A_3A_4,\ \ldots,\ \angle A_{2n-2}A_{2n-1}A_{2n},\ \angle A_{2n-1}A_{2n}A_1,\ \angle A_{2n}A_1A_2.

Всеки ъгъл се измерва така, че да има най-малката положителна стойност, т.е. между

0^\circ

180^\circ

. Докажете, че съществува подредба на дадените точки, при която получените

2n

ъгъла могат да се разделят на две групи с равни суми.

Бележка към материала

Нека

n\gt{}1

е цяло число. Дадени са

2n

точки в равнината, никои три от които не са колинеарни. Точките трябва да се означат с

A_1,A_2,\ldots,A_{2n}

в някакъв ред. След това разглеждаме

2n

-те ъгъла

\angle A_1A_2A_3,\ \angle A_2A_3A_4,

\ \ldots,\ \angle A_{2n-2}A_{2n-1}A_{2n},

\ \angle A_{2n-1}A_{2n}A_1,\ \angle A_{2n}A_1A_2.

Всеки ъгъл се измерва така, че да има най-малката положителна стойност, т.е. между

0^\circ

180^\circ

. Докажете, че съществува подредба на дадените точки, при която получените

2n

ъгъла могат да се разделят на две групи с равни суми.

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол