ISL 2019 N6 | maths.bg

Нека

H=\{\lfloor i\sqrt2\rfloor:i\in\mathbb Z_{\gt{}0}\}=\{1,2,4,5,7,\ldots\},

и нека

n

е положително цяло число. Докажете, че съществува константа

C

, за която, ако

A\subset\{1,2,\ldots,n\}

|A|\ge C\sqrt n

, то съществуват

a,b\in A

такива, че

a-b\in H

. Тук

\mathbb Z_{\gt{}0}

е множеството на положителните цели числа, а

\lfloor z\rfloor

означава най-голямото цяло число, което не надминава

z

Бележка към материала

Нека

H=\{\lfloor i\sqrt2\rfloor:i\in\mathbb Z_{\gt{}0}\}=\{1,2,4,5,7,\ldots\},

и нека

n

е положително цяло число. Докажете, че съществува константа

C

, за която, ако

A\subset\{1,2,\ldots,n\}

|A|\ge C\sqrt n

, то съществуват

a,b\in A

такива, че

a-b\in H

. Тук

\mathbb Z_{\gt{}0}

е множеството на положителните цели числа, а

\lfloor z\rfloor

означава най-голямото цяло число, което не надминава

z

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Още задачи при скрол