ISL 2020 C5 | maths.bg

Нека

p

е нечетно просто число и нека

N=\frac{p^3-p}{4}-1.

Числата

1,2,\ldots,N

са оцветени произволно в два цвята, червено и синьо. За всяко положително цяло число

n\le N

означаваме с

r(n)

дела на червените числа измежду

1,2,\ldots,n

. Докажете, че съществува положително цяло число

a\in\{1,2,\ldots,p-1\}

, за което

r(n)\ne\frac{a}{p}

за всички

n=1,2,\ldots,N

Бележка към материала

Нека

p

е нечетно просто число и нека

N=\frac{p^3-p}{4}-1.

Числата

1,2,\ldots,N

са оцветени произволно в два цвята, червено и синьо. За всяко положително цяло число

n\le N

означаваме с

r(n)

дела на червените числа измежду

1,2,\ldots,n

. Докажете, че съществува положително цяло число

a\in\{1,2,\ldots,p-1\}

, за което

r(n)\ne\frac{a}{p}

за всички

n=1,2,\ldots,N

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол