ISL 2021 N8 | maths.bg

За полином

P(x)

с цели коефициенти нека

P^1(x)=P(x)

P^{k+1}(x)=P(P^k(x))

за

k\ge1

. Да се намерят всички положителни цели числа

n

, за които съществува полином

P(x)

с цели коефициенти такъв, че за всяко цяло

m\ge1

числата

P^m(1),P^m(2),\ldots,P^m(n)

дават точно

\left\lceil n/2^m\right\rceil

различни остатъка при деление на

n

Бележка към материала

За полином

P(x)

с цели коефициенти нека

P^1(x)=P(x)

P^{k+1}(x)=P(P^k(x))

за

k\ge1

. Да се намерят всички положителни цели числа

n

, за които съществува полином

P(x)

с цели коефициенти такъв, че за всяко цяло

m\ge1

числата

P^m(1),P^m(2),\ldots,P^m(n)

дават точно

\left\lceil n/2^m\right\rceil

различни остатъка при деление на

n

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Още задачи при скрол