ISL 2022 A8 | maths.bg

За положително цяло число

n

наричаме

n

-редица всяка редица

(a_0,\ldots,a_n)

от неотрицателни цели числа със следното свойство: ако

i

j

са неотрицателни цели числа с

i+j\le n

, то

a_i+a_j\le n

a_{a_i+a_j}=a_{i+j}.

Нека

f(n)

е броят на

n

-редиците. Докажете, че съществуват положителни реални константи

c_1,c_2

\lambda

, за които

c_1\lambda^n\lt{}f(n)\lt{}c_2\lambda^n

за всички положителни цели числа

n

Бележка към материала

За положително цяло число

n

наричаме

n

-редица всяка редица

(a_0,\ldots,a_n)

от неотрицателни цели числа със следното свойство: ако

i

j

са неотрицателни цели числа с

i+j\le n

, то

a_i+a_j\le n

a_{a_i+a_j}=a_{i+j}.

Нека

f(n)

е броят на

n

-редиците. Докажете, че съществуват положителни реални константи

c_1,c_2

\lambda

, за които

c_1\lambda^n\lt{}f(n)\lt{}c_2\lambda^n

за всички положителни цели числа

n

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол