ISL 2022 C1 | maths.bg

Една

\pm1

-редица е редица от

2022

числа

a_1,\ldots,a_{2022}

, всяко от които е равно на

+1

или на

-1

. Да се намери най-голямото число

C

със следното свойство: за всяка

\pm1

-редица съществуват цяло число

k

и индекси

1\le t_1\lt{}\cdots\lt{}t_k\le2022,

такива че

t_{i+1}-t_i\le2

за всички

i

, и

\left|\sum_{i=1}^k a_{t_i}\right|\ge C.

Бележка към материала

Една

\pm1

-редица е редица от

2022

числа

a_1,\ldots,a_{2022}

, всяко от които е равно на

+1

или на

-1

. Да се намери най-голямото число

C

със следното свойство: за всяка

\pm1

-редица съществуват цяло число

k

и индекси

1\le t_1\lt{}\cdots\lt{}t_k\le2022,

такива че

t_{i+1}-t_i\le2

за всички

i

, и

\left|\sum_{i=1}^k a_{t_i}\right|\ge C.

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Още задачи при скрол