ISL 2022 C2 | maths.bg

Банката на Осло издава монети от два вида метал: алуминий, означен с

A

, и мед, означена с

C

. Морган има

n

алуминиеви и

n

медни монети и подрежда своите

2n

монети в редица в произволен начален ред. За фиксирано положително цяло число

k\le2n

тя повтаря следната операция: намира най-дългия блок от последователни монети от един и същ метал, който съдържа

k

-тата монета отляво, и премества всички монети от този блок в левия край на редицата. Например при

n=4

k=4

процесът от конфигурацията

AACCCACA

AACCCACA\to CCCAAACA\to AAACCCCA\to CCCCAAAA\to\cdots.

Да се намерят всички двойки

(n,k)

1\le k\le2n

, за които при всяка начална конфигурация в някакъв момент най-много една алуминиева монета ще бъде съседна на медна монета.

Бележка към материала

Банката на Осло издава монети от два вида метал: алуминий, означен с

A

, и мед, означена с

C

. Морган има

n

алуминиеви и

n

медни монети и подрежда своите

2n

монети в редица в произволен начален ред. За фиксирано положително цяло число

k\le2n

k

-тата монета отляво, и премества всички монети от този блок в левия край на редицата. Например при

n=4

k=4

процесът от конфигурацията

AACCCACA

AACCCACA\to CCCAAACA\to AAACCCCA\to CCCCAAAA\to\cdots.

Да се намерят всички двойки

(n,k)

1\le k\le2n

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол