ISL 2022 C9 | maths.bg

Нека

\mathbb Z_{\ge0}

е множеството на неотрицателните цели числа и нека

f:\mathbb Z_{\ge0}\times\mathbb Z_{\ge0}\to\mathbb Z_{\ge0}

е биекция със следното свойство: ако

f(x_1,y_1)\gt{}f(x_2,y_2),

то

f(x_1+1,y_1)\gt{}f(x_2+1,y_2)\quad\text{и}\quad f(x_1,y_1+1)\gt{}f(x_2,y_2+1).

Нека

N

е броят на двойките цели числа

(x,y)

0\le x,y\lt{}100

, за които

f(x,y)

е нечетно. Да се намерят най-малката и най-голямата възможна стойност на

N

Бележка към материала

Нека

\mathbb Z_{\ge0}

е множеството на неотрицателните цели числа и нека

f:\mathbb Z_{\ge0}\times\mathbb Z_{\ge0}\to\mathbb Z_{\ge0}

е биекция със следното свойство: ако

f(x_1,y_1)\gt{}f(x_2,y_2),

то

f(x_1+1,y_1)\gt{}f(x_2+1,y_2)\quad

\text{и}\quad f(x_1,y_1+1)\gt{}f(x_2,y_2+1).

Нека

N

е броят на двойките цели числа

(x,y)

0\le x,y\lt{}100

, за които

f(x,y)

е нечетно. Да се намерят най-малката и най-голямата възможна стойност на

N

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол