ISL 2024 A6 | maths.bg

Нека

a_0,a_1,a_2,\ldots

е безкрайна строго растяща редица от положителни цели числа, такава че за всяко

n\ge1

е изпълнено

a_n\in\left\{\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2,\sqrt{\vphantom{x^2}a_{n-1}a_{n+1}}\right\}.

Нека

b_1,b_2,\ldots

е безкрайна редица от букви, дефинирана чрез

b_n=\begin{cases}A,&\text{ако }a_n=\frac12\left(a_{n-1}+a_{n+1}\right),\\ G,&\text{иначе.}\end{cases}

Докажете, че съществуват положителни цели числа

n_0

d

, такива че за всяко

n\ge n_0

е изпълнено

b_{n+d}=b_n

Бележка към материала

Нека

a_0,a_1,a_2,\ldots

е безкрайна строго растяща редица от положителни цели числа, такава че за всяко

n\ge1

е изпълнено

a_n\in\left\{\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2,\sqrt{\vphantom{x^2}a_{n-1}a_{n+1}}\right\}.

Нека

b_1,b_2,\ldots

е безкрайна редица от букви, дефинирана чрез

b_n=\begin{cases}A,&\text{ако }a_n=\frac12\left(a_{n-1}+a_{n+1}\right),\\ G,&\text{иначе.}\end{cases}

Докажете, че съществуват положителни цели числа

n_0

d

, такива че за всяко

n\ge n_0

е изпълнено

b_{n+d}=b_n

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол