ISL 2024 C4 | maths.bg

Нека

N

е положително цяло число. Джеф и Кери играят следната игра. В началото на дъската са записани числата

1,2,\ldots,N

. След това играчите се редуват да правят ходове, като Джеф започва. Един ход се състои в избиране на двойка цели числа

(k,n)

, където

k\geqslant 0

, а

n

е едно от числата на дъската; след това се изтрива всяко число

s

на дъската, за което

2^k\mid n-s

. Играта продължава, докато дъската стане празна. Играчът, който изтрие последното число на дъската, губи. Да се намерят всички стойности на

N

, за които Джеф може да си осигури победа независимо от играта на Кери.

Бележка към материала

Нека

N

е положително цяло число. Джеф и Кери играят следната игра. В началото на дъската са записани числата

1,2,\ldots,N

(k,n)

, където

k\geqslant 0

, а

n

е едно от числата на дъската; след това се изтрива всяко число

s

на дъската, за което

2^k\mid n-s

N

, за които Джеф може да си осигури победа независимо от играта на Кери.

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол