Задачи
Източник

Запазете задача или теорема, за да започнете колекция.

maths.bgmaths.bg
(IMO ShortList C7) Дадена е правоъгълна таблица m×nm \times n в клетките на която са записани реални числа {a(i,j)}\{a(i, j)\}. Двойката (R,C)(R, C) ще наричаме седлова, ако R⊆{1,2,…,m}R \subseteq\{1, 2, \ldots, m\} е подмножество от редовете на таблицата, C⊆{1,2,…,n}C \subseteq\{1, 2, \ldots, n\} е подмножество от стълбовете на таблицата и следните две условия са едновременно изпълнени: (i) За всеки ред i′∈{1,2,…,m}i^{\prime} \in\{1, 2, \ldots, m\} съществува ред i∈Ri \in R, такъв че a(i,j)≥a(i′,j),∀j∈Ca(i, j) \geq a\left(i^{\prime}, j\right), \forall j \in C. (ii) За всеки стълб j′∈{1,2,…,n}j^{\prime} \in\{1, 2, \ldots, n\} съществува стълб j∈Cj \in C, такъв че a(i,j)≤a(i,j′),∀i∈Ra(i, j) \leq a\left(i, j^{\prime}\right), \forall i \in R. Една седлова двойка (R,C)(R, C) ще наричаме минимална, ако за всяка друга седлова двойка ( R′,C′R^{\prime}, C^{\prime} ), изпълняваща R′⊆RR^{\prime} \subseteq R и C′⊆CC^{\prime} \subseteq C, имаме че R′=RR^{\prime}=R и C′=CC^{\prime}=C. Да се докаже, че за всеки две минимални седлови двойки ( R1,C1R_{1}, C_{1} ) и ( R2,C2R_{2}, C_{2} ) е в сила равенството ∣R1∣=∣R2∣\left|R_{1}\right|=\left|R_{2}\right|.
📣НОВО: Добавени задачи от Международната олимпиада по математика 2000-2024
Още задачи при скрол