(IMO ShortList C3) Във всяка единична клетка на квадратна овощна градина с размери 681 първоначално е засадено по едно дърво с височина 0 метра. Редувайки се, градинар и дървосекач играят следната игра, като започва градинарят:
Градинарят избира единична клетка. Дърветата в тази клетка и всичките й съседни (съседите са най-много осем) израстват с по 1 метър.
Дървосекачът избира четири произволни единични клетки. Отсича по 1 метър от всяко от дърветата с положителна височина в тези клетки.
Ще наричаме едно дърво в ллшебно, ако височината му е поне километър. Да се намери най-голямото число , за което на даден етап градинарят може да си осигури поне на брой вълшебни дървета в градината, независимо от играта на дървосекача.
(IMO ShortList C3) Във всяка единична клетка на квадратна овощна градина с размери 681 първоначално е засадено по едно дърво с височина 0 метра. Редувайки се, градинар и дървосекач играят следната игра, като започва градинарят:
Градинарят избира единична клетка. Дърветата в тази клетка и всичките й съседни (съседите са най-много осем) израстват с по 1 метър.
Дървосекачът избира четири произволни единични клетки. Отсича по 1 метър от всяко от дърветата с положителна височина в тези клетки.
Ще наричаме едно дърво в ллшебно, ако височината му е поне километър. Да се намери най-голямото число , за което на даден етап градинарят може да си осигури поне на брой вълшебни дървета в градината, независимо от играта на дървосекача.
Вярно ли е, че за всеки полином с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число , такова че уравнението няма рационален корен?
Да се реши в естествени числа уравнението
Да се намери най-малкото естествено число , за което уравнениетоняма
Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа За всяко естествено число е изпълнено неравенството . Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа и , за които дели .
Върху страните и на , външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове и . Симетралите на отсечките и пресичат страните и съответно във вътрешни точки и .
a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците и .
б) Да се намерят ъглите и .
Още задачи при скрол