maths.bgmaths.bg
Всички колекции
APMO

Asia Pacific Mathematical Olympiad

12 задачи от базата, подредени за бързо решаване по година или клас. Показаните източници са тези, записани към самите задачи.

4 години1 класа
По годинаПо клас

Избрана година

2022

Назад към папките

11-12

1 задача

Задача 1

Пълен запис
Условие
Намерете всички наредени двойки (a,b)(a,b) от положителни цели числа, за които a3a^{3} е кратно на b2b^{2}, а b−1b-1 е кратно на a−1a-1. Забележка. Казваме, че цяло число nn е кратно на цяло число mm, ако съществува цяло число kk, за което n=kmn=km.
РешениеЩе започнем, като покажем, че съществуват положителни цели числа x,c,dx,c,d, за които a=x2cda=x^{2}cd и b=x3cb=x^{3}c. Нека g=gcd⁡(a,b)g=\operatorname{gcd}(a,b), така че a=gda=gd и b=gxb=gx за някои взаимно прости числа dd и xx. Тогава условието b2∣a3b^{2}\mid a^{3} е еквивалентно на g2x2∣g3d3g^{2}x^{2}\mid g^{3}d^{3}, което на свой ред е еквивалентно на x2∣gd3x^{2}\mid gd^{3}. Тъй като xx и dd са взаимно прости, оттук следва, че x2∣gx^{2}\mid g. Следователно g=x2cg=x^{2}c за някое положително цяло число cc, откъдето a=x2cda=x^{2}cd и b=x3cb=x^{3}c, както искахме. Остава да намерим всички положителни цели числа x,c,dx,c,d, за коитоx2cd−1∣x3c−1.x^{2}cd-1\mid x^{3}c-1.Тоест x3c≡1( mod x2cd−1)x^{3}c\equiv1\left(\bmod x^{2}cd-1\right). Ако това сравнение е изпълнено, тоd≡x3cd≡x( mod x2cd−1).d\equiv x^{3}cd\equiv x\left(\bmod x^{2}cd-1\right).Следователно или x=dx=d, или x−d≥x2cd−1x-d\geq x^{2}cd-1, или d−x≥x2cd−1d-x\geq x^{2}cd-1. - Ако x=dx=d, то b=ab=a. - Ако x−d≥x2cd−1x-d\geq x^{2}cd-1, тогаваx−d≥x2cd−1≥x−1≥x−d.x-d\geq x^{2}cd-1\geq x-1\geq x-d.Следователно във всяко от тези неравенства има равенство. Оттук x=c=d=1x=c=d=1, а значи a=b=1a=b=1. - Ако d−x≥x2cd−1d-x\geq x^{2}cd-1, тогаваd−x≥x2cd−1≥d−1≥d−x.d-x\geq x^{2}cd-1\geq d-1\geq d-x.Следователно във всяко от тези неравенства има равенство. Оттук x=c=1x=c=1, а значи b=1b=1. И така, единствените решения са наредените двойки (a,b)(a,b), за които a=ba=b или b=1b=1. Непосредствено се проверява, че всички тези двойки изпълняват дадените условия.
Отвори задачатаMathNetAPMO 2022/1Условие — източник