Asia Pacific Mathematical Olympiad

Задача 2

Пълен запис

Намерете всички цели числа

n

, за които

n \geq 2

\frac{\sigma(n)}{p(n)-1}=n

, където

\sigma(n)

означава сумата на всички положителни делители на

n

, а

p(n)

— най-големия прост делител на

n

Решение

Нека

n=p_{1}^{\alpha_{1}} \cdot \ldots \cdot p_{k}^{\alpha_{k}}

е разлагането на

n

на прости множители, където

p_{1}\lt{}\ldots\lt{}p_{k}

. Тогава

p(n)=p_{k}

\sigma(n)=\left(1+p_{1}+\cdots+p_{1}^{\alpha_{1}}\right) \ldots\left(1+p_{k}+\cdots+p_{k}^{\alpha_{k}}\right)

. Следователно

p_{k}-1=\frac{\sigma(n)}{n}=\prod_{i=1}^{k}\left(1+\frac{1}{p_{i}}+\cdots+\frac{1}{p_{i}^{\alpha_{i}}}\right)\lt{}\prod_{i=1}^{k} \frac{1}{1-\frac{1}{p_{i}}}=\prod_{i=1}^{k}\left(1+\frac{1}{p_{i}-1}\right) \leq \prod_{i=1}^{k}\left(1+\frac{1}{i}\right)=k+1

, тоест

p_{k}-1\lt{}k+1

. Това е невъзможно при

k \geq 3

, защото тогава

p_{k}-1 \geq 2 k-2 \geq k+1

. Значи

k \leq 2

p_{k}\lt{}k+2 \leq 4

, откъдето

p_{k} \leq 3

. Ако

k=1

, то

n=p^{\alpha}

\sigma(n)=1+p+\cdots+p^{\alpha}

, а в този случай

n \nmid \sigma(n)

, което е невъзможно. Следователно

k=2

n=2^{\alpha} 3^{\beta}

, където

\alpha, \beta\gt{}0

. Ако

\alpha\gt{}1

или

\beta\gt{}1

, то

\frac{\sigma(n)}{n}\gt{}\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)=2.

Следователно

\alpha=\beta=1

и единственият отговор е

n=6

. Забележка. Случаят

n=2^{\alpha} 3^{\beta}

може да се разгледа и по друг начин. Например имаме

2^{\alpha+2} 3^{\beta}=\left(2^{\alpha+1}-1\right)\left(3^{\beta+1}-1\right)

. Тъй като

2^{\alpha+1}-1

не се дели на

2

, а

3^{\beta+1}-1

не се дели на

3

, получаваме

\left\{\begin{array} { l } { 2 ^ { \alpha + 1 } - 1 = 3 ^ { \beta } } \cr { 3 ^ { \beta + 1 } - 1 = 2 ^ { \alpha + 2 } } \end{array} \Longleftrightarrow \left\{\begin{array} { c } { 2 ^ { \alpha + 1 } - 1 = 3 ^ { \beta } } \cr { 3 \cdot ( 2 ^ { \alpha + 1 } - 1 ) - 1 = 2 \cdot 2 ^ { \alpha + 1 } } \end{array} \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{r} 2^{\alpha+1}=4 \cr 3^{\beta}=3 \end{array},\right.\right.\right.

n=2^{\alpha} 3^{\beta}=6

2023