Задача 1
EMT
Есенен математически турнир
309 задачи от базата, подредени за бързо решаване по година или клас. Показаните източници са тези, записани към самите задачи.
16 години8 класаИма видими липси
Избран клас
6
2018
4 задачиПълен запис
Задача 2
Условие
Сега аз съм на два пъти повече години отколкото Иван беше, когато аз бях на неговата възраст. Сега сборът от годините ни е 42. На колко години е сега всеки от нас?Решение
Нека говорещият е на години. Тогава Иван е на години. Говорещият е бил на възрастта на Иван преди години. Тогава възрастта на Иван е била . От условието имаме: Оценяване: Подходящо означаване (1т.). Израз за годините на Иван сега (1т.). Израз за изминалите години (3т.). Израз за годините на Иван преди (1т.). Съставяне на уравнение (2т.). Отговор (2т.). Всяко друго вярно решение се оценява с пълен брой точкиЗадача 3
Условие
Да се намерят шест естествени числа такива, че сумите на всеки пет от тях са 2014, 2015, 2016, 2017, 2018 и шестата сума съвпада с една от изброените.Решение
Нека сбора на шестте числа е , а числата са , , , , и . Тогава ще имаме, че , , , , , , , се дели на Тъй като има само една сума по-малка от 2015, тогава трябва да се повтаря 404л Оценяване: Подходящо означаване (2т.). Достигане до извод, че има пет последователни числа (2т.). Извод за делимост на 5 (2т.). Откриване на петте последователни числа (2т.). Откриване на повтарящото се число (2т.). Всяко друго вярно решение се оценява с пълен брой точкиЗадача 4
Условие
На страните и на са избрани съответно точки и , като и . Точките и са средите съответно на отсечките и . Ако лицето на четириъгълника е равно на 2018 кв. см., намерете лицето на .Решение
Лицето на ще означим с ТогаваАналогичнои . Откъдето получаваме, че кв. см.
Оценяване: За верен чертеж 1 т. (1т.), (2т.) и (1т.) (1 т.) (1т.) (1т.).
Откъдето получаваме, че кв. см. (2т.)
Всяко друго вярно решение се оценява с пълен брой точки2022
4 задачиЗадача 1
Условие
Две мравки се движат по числовата ос. В началото те се намират в точките, които съответстват на числата и , . На втория ден се преместват съответно в точките и и продължават по същия начин: от точките и на следващия ден преминават съответно в точките и . а) Акокоя точка от числовата ос ще се намира на равни разстояния от двете мравки на петия ден? б) Намерете числата и , които определят първоначалните позиции на мравките, ако на петия ден разстоянието между мравките е било 2025, а на десетия ден те са били на равни разстояния от точката .Решение
Дължината на отсечка с краища в числата и е . Средата на отсечката е в точката . Забелязваме, че , което означава, че сборът на числата от двете граници се запазва. Следователно средата на отсечката с краища в двете мравки не се променя. а) НамирамеДелимото в е равно на . Като използваме равенствотонамирамеиТогаваСредата на отсечката е в точката . б) Имаме , т.е. . Тъй като , всеки следващ ден дължината на отсечката се утроява. Следователно на петия ден тя е и . Намираме и , както и и . Критерии за оценяване. а) 3 точки (за намиране на и на по 1 точка; за намиране на средата – 1 точка); б) 3 точки; (за доказване, че дължината на интервала се утроява всеки ден – 1 т.; за доказване, че средата се запазва – 1 т.; за намиране на и – 1 точка)Задача 2
Условие
В съкровището на дракона Мог има четири вида скъпоценни камъни: 50\% от скъпоценните камъни и още един са изумруди, 60\% от останалите камъни и още четири са рубини, 55\% от камъните без изумрудите и рубините са аметисти, а останалите 180 камъни са диаманти. А) Колко скъпоценни камъни има в съкровището на Мог? Б) Джуджетата Крор, Фрор и Дрор, заедно с Билбо, откраднали съкровището на дракона и си го поделили. Скъпоценните камъни на Крор били с 24\% повече от тези на Фрор, а Дрор взел с 25\% по-малко камъни, отколкото Крор и Фрор общо. Най-малко колко скъпоценни камъни е взел Билбо?Решение
а) Разсъждаваме отзад напред: 180 диаманта са 45\% от общия брой на диамантите и аметистите, следователно диамантите и аметистите са общо ; камъни са 40\% от общия брой рубини, аметисти и диаманти, следователно рубините, аметистите и диамантите общо са . Половината от всички камъни са , следователно в съкровището има 2022 камъни. б) Броят камъни на Крор е от броя камъни на Фрор. Тъй като броят на камъните е естествено число, то броят на камъните на Фрор се дели на 25, т.е. е от вида , където е естествено число. Тогава Крор има камъни, а Дрор има камъни. Общо трите джуджета имат камъни. Тъй като (ост. 62), то Билбо е взел най-малко 62 скъпоценни камъни. Критерии за оценяване. а) 3 точки; за оценка – 3 т., б) 3 точки; включително ако задачата е решена вярно при друг общ брой на камъните.Задача 3
Условие
Даден е изпъкнал четириъгълник . Страните му , , и са продължени съответно до точките , , и така, че , , и . Лицето на четириъгълника е 250 cm.
а) Да се намери лицето на .
б) б) Диагоналите на четириъгълника се пресичат в точка . Намерете лицата на триъгълниците , , и , ако е известно, че стойностите им (в квадратни сантиметри) са прости числа.Решение
В триъгълник отсечката е медиана. Следователно . В триъгълник отсечката е медиана. Следователно . Следователно и
Аналогично , , . Събираме равенствата и получавамеОт тук следва, че . Следователно cm.
б) Да означим , , , . Тогава .
Триъгълниците и имат обща височина през върха . За лицата им е вярноАналогично . Следователно или .
Тъй като , , и са прости числа, а съществува единствено разлагане на прости множители на числото , то и или и , където и са прости числа. Заместваме в равенството и получаваме, че . Това означава, че и са от различна четност и тъй като и са прости числа, то едното от тях е задължително 2, а за другото остава 23. Като обобщим резултатите се получават 4 възможни решения:Критерии за оценяване.
а) 4 точки; б) 3 точки.Задача 4
Условие
Правоъгълник с дължина, която е два пъти по-голяма от широчината, наричаме домино. На чертежа е показано как всеки квадрат може да се разреже на пет домина.
а) Посочете пример как квадрат може да се разреже на шест домина и как може да се разреже на седем домина.
б) Посочете пример как квадрат може да се разреже на шест домина, сред които има поне четири с различни размери.
в) Докажете, че за всяко естествено число , по-голямо от 7, квадратът може да се разреже на домина.Решение
а) На чертежа са показани два примера за разрязване на шест домина
и два примера за разрязване на седем домина.
б) На чертежа е показано как квадрат може да се разреже на едно домино , едно домино , едно домино и три домина .
б) В условието е показано как квадрат може да се разреже на 5 домина, а в а) е показано как квадрат може да се разреже на 6 или 7 домина.
Остава да забележим, че всяко домино може да се разреже на 4 домина. С такова разрязване броят на домината се увеличава с 3.
Следователно от примера с 5 домина след разрязвания се получава разрязване на домина; от примера с 6 домина след разрязвания се получава разрязване на домина; от примера със 7 домина след разрязвания се получава разрязване на домина. Всяко естествено попада в един от тези случаи.
Критерии за оценяване.
а) 2 точки; (по две за пример); б) 2 точки; в) 3 точки.2023
4 задачиЗадача 1
Условие
Пресметнете числата и :и намерете числото , за което е изпълнено равенствотоРешение
НамирамеОценяване: по 2 точки за намиране на , и .Задача 2
Условие
Правоъгълникът има лице 555 cm и е сглобен от 15 квадрата, както е показано на чертежа. а) Намерете обиколката на правоъгълника . б) Намерете лицето на оцветените триъгълници и . в) Ако отсечките и се пресичат в точка , докажете, че е среда на отсечката .
Решение
а) (2 точки) Да означим . Тогава страните на квадратите са съответно , и иАко cm, тооткъдето cm. Страните на дадения правоъгълник са cm и cm, а обиколката му е 97 cm. б) (2 точки) ИзразявамеСледователно cm. в) (2 точки) Да означим с разстоянието от до и с – разстоянието от до . ТогаваОт б) имаме , следователно , от което следва, че , т.е. е среда на .Задача 3
Условие
На един остров живее популация от повече от 100 хамелеони. В понеделник на острова имало само червени и сини хамелеони. Във вторник 25% от хамелеоните, които в понеделник били сини, станали червени, а 25% от хамелеоните, които в понеделник били червени, станали сини. Така се оказало, че 70% от хамелеоните на острова са сини. В сряда на острова се родили 10 хамелеони, сини или червени. Така процентът на сините хамелеони на острова станал 68%. а) Колко процента от хамелеоните на острова са били сини в понеделник? б) Колко сини хамелеони се родили в сряда и колко хамелеони е имало на острова след това? в) В четвъртък се срещнали син и червен хамелеон и двата едновременно се оцветили в жълт цвят. По-нататък при всяка среща на два разноцветни хамелеони, те се оцветявали едновременно в третия цвят. Например, ако се срещнели жълт и червен хамелеон, и двата се превръщали в сини. Възможно ли е в края на деня на острова да е имало равен брой червени и жълти хамелеони?Решение
а) (2 точки) Нека в понеделник имало сини и червени хамелеони. Във вторник са сини и червени хамелеони. ТакаСледователно в понеделник имало сини и червени хамелеони; общо , от които сините са били 90%. б) (3 точки) Тъй като броят на хамелеоните е естествено число, то е естествено, т.е. , където е естествено число. Изразяваме ; общо има хамелеони. Във вторник стават сини и червени хамелеони. В сряда на острова се родили 10 хамелеони и те стават общо , от които сините са . Ако от новородените хамелиони са сини, , имамеЧислото е четно, не се дели на 4, и не надхвърля 6. Следователно , или , . Във втория случай хамелеоните стават общо 50, а са повече от 100. Следователно , , което означава, че са се родили 2 сини и 8 червени хамелеони, а общо са станали хамелеони. в) (2 точки) Преди срещата на синия и червения хамелеон в четвъртък е имало сини, червени и 0 жълти хамелеони. Нека до края на деня е имало срещи на жълт и червен, срещи на жълт и син и срещи на син и червен хамелеон (, , са естествени числа или 0). Тогава червените са станали , а жълтите са станали . Равенствотое невъзможно, тъй като 80 не се дели на 3.Задача 4
Условие
Том Сойер трябва да боядиса 10 поредни дъски от една ограда, като изпълни следните изсиквания: • всяка дъска да е оцветена в бял, син или червен цвят; • първата и десетата дъски да са бели; • от две съседни дъски най-много една да е бяла.
а) По колко различни начина Том Сойер може да оцвети оградата?
б) Колко са възможните оцветявания, при които има повече сини, отколкото червени дъски на оградата?Решение
а) (4 точки) Тъй като от всеки две съседни дъски най-много една е бяла, белите дъски са най-много 5. Тъй като крайните са бели, броят на белите дъски е 2, 3, 4 или 5. Ако белите дъски са две, първата и десетата, цветът на всяка от останалите 8 дъски може да се избере по 2 начина и получаваме оцветявания. Нека белите дъски са три. Втората и деветата не са бели, значи вътрешната бяла дъска е с номер 3, 4, 5, 6, 7 или 8, т.е. нейната позиция може да се избере по 6 начина. При всеки такъв избор останалите 7 дъски се оцветяват в син или червен цвят по начина. Получаваме оцветявания. Нека белите дъски са четири. Вътрешните две бели дъски може да са с номера: , където или 8; , където или 8; , където или 8; . Следователно позицията на двете вътрешни бели дъски може да се избере по начина. При всеки такъв избор останалите 6 дъски се оцветяват в син или червен цвят по начина. Получаваме оцветявания. Нека белите дъски са пет. Вътрешните три бели дъски може да са с номера: , , , . Следователно позицията на трите вътрешни бели дъски може да се избере по 4 начина. При всеки такъв избор останалите 5 дъски се оцветяват в син или червен цвят по начина. Получаваме оцветявания. Общо оцветяванията саб) (3 точки) Първо ще преброим оцветяванията с равен брой червени и сини дъски. Това е възможно само в случаите, когато белите дъски са 2 или 4. Ако белите дъски са две, първата и десетата, сред останалите 8 дъски мястото на четирите сини може да се избере по начина. Ако белите дъски са четири, първата, десетата и две вътрешни, мястото на вътрешните може да се избере по 10 начина (както видяхме в а). При всяки от тези 10 варианта сред останалите 6 дъски мястото на трите сини може да се избере по начина. Така получаваме начина. Следователно при оцветявания има равен брой червени и сини дъски. На всяко оцветяване с повече сини, отколкото червени дъски, можем да съпоставим оцветяване с повече червени, отколкото сини дъски, като в преоцветим сините в червени и червените в сини. По този начин оцветяванията с различен брой червени и сини дъски се разделят по двойки; в половината от тези оцветявания, т.е.сините дъски са повече от червените.2024
4 задачиЗадача 1
Условие
В аквариум с форма на правоъгълен паралелепипед имало определено количество вода. При почистване източили 40\% от водата. След това добавили филтрирана вода, при което увеличили с 40\% количеството вода, останало след източването. Накрая в аквариума имало 2,1 литра вода. а) Колко литра вода имало в аквариума отначало? б) Широчината на дъното на аквариума е 20 cm и е с 20\% по-малка от неговата дължина. Околната повърхнина на аквариума е 7,2 dm. Колко процента от обема на аквариума са били запълнени с вода отначало?Решение
а) Нека отначало в аквариума е имало литра вода. След източването са останали литра, а след доливането на филтрираната вода, в аквариума имало литра вода. От равенството намираме литра. б) Широчината на дъното cm е с 20\% по-малка от дължината , т.е. е равна на . От равенството намираме cm. Обиколката на дъното е cm и тъй като dm cm, височината на аквариума е cm. Обемът на аквариума е cm dm. Водата отначало е от обема на аквариума. Оценяване. а) Пълно решение: 3 точки. Намиране, че крайното количество е 84\% от първоначалното – 2 точки. Определяне на началното количество вода – 1 точка. Ако се решава като рачешка задача, по 1,5 т. за всяка стъпка. б) Пълно решение: 3 точки. Намиране на дължината – 1 точка. Намиране на виочината – 1 точка. Намиране на обема и определяне на търсения процент – 1 точка.Задача 2
Условие
За дадени числа означавамеНапример,а) Пресметнете сбораб) Намерете числото в равенствотоРешение
а) Забелязваме, чеСледователнотъй като в получения сбор събираемите, без първото и последното, се разделят на двойки противоположни със сбор 0. б) Даденото равенство се записва във видаИмаметъй като . От друга страна,Получаваме , откъдето намираме . Оценяване. а) Пълно решение: 2 точки. б) Пълно решение: 4 точки. Определяне на коефициента пред – 1,5 точки. Пресмятане на телескопичния сбор – 1,5 точки. Намиране на – 1 точка.Задача 3
Условие
Даден е триъгълник . На страната е отбелязана точка така, че ; на страната е отбелязана точка така, че ; на страната е отбелязана точка така, че . Отсечките и се пресичат в точка и лицето на четириъгълника е 36 cm. Намерете лицето на триъгълника и лицето на триъгълника .Решение
Ако е разстоянието от до , а е разстоянието от до , имамеи като умножим тези равенства, получаваме
Следователно лицето на триъгълника е равно на половината от лицето на триъгълника . От друга страна,т.е. лицето на триъгълника е равно на половината от лицето на триъгълника (по-нататък ще използваме това свойство на медианата без доказателство).
Следователно , т.е.Така получихме, че cm.
От следва, чеТъй като е медиана в триъгълника , то . Освен това, е медиана в триъгълника и . Като извадим почленно двете равенства. получавамеНо , следователноТогаваоткъдето и cm. Така cm.
Оценяване. Доказателство, че лицето на триъгълника е равно на половината от лицето на триъгълника – 2 точки.
Доказателство, че – 1 точка.
Намиране на лицето на – 1 точка.
Намиране на – 1 точка.
Намиране на – 1 точка,
Намиране на – 1 точка.Задача 4
Условие
Серпентина ще наричаме квадратна таблица , в която са записани последователни цели числа по следния начин: най-малкото от числата е в горния ляв ъгъл; в първия ред числата нарастват отляво надясно; в последното поле от реда се прави завой към полето под него; във втория ред числата нарастват отдясно наляво и т.н. (Стрелките на фиг. 1 показват реда на попълване на последователните числа в серпентина .)
При всеки ход се избират две съседни полета в таблицата (т.е. полета с обща страна) и към числата в тях се прибавя едно и също число. На фиг. 2 са показани два поредни хода в таблица : при първия ход към числата в сивите квадратчета се прибавя 2, а при втория ход към избраните квадратчета се прибавя .
Една серпентина наричаме \textbf{особена}, ако след няколко хода от нея може да се получи таблица, във всички полета на която е записана 0.
а) Намерете всички особени серпентини при .
б) Съществува ли особена серпентина при ?Решение
Ако оцветим таблицата шахматно, при всеки ход едно бяло и едно черно поле се увеличават или намаляват с едно и също число. Това означава, че разликата между сбора на числата в белите полета и сбора на числата в черните полета се запазва. а) Общият вид на серпентина е следният:
Сборът на числата в черните полета е , а сборът на числата в белите полета е . След всеки ход се запазва разликата между сбора на числата в черните полета и сбора на числата в белите полета, който отначало е .
Следователно ако серпентината е особена, то .
Остава да покажем, че при с няколко хода може да се получи таблица само с 0. В таблицата
разделяме полетата по двойки и след 10 ходастигаме до таблица, в която има 11 двойки съседни полета, във всяка от които са записани равни числа:
От тук с 11 хода получаваме таблица само с 0.
б) В серпентина са записани 100 числа; ако в горния ляв ъгъл е числото , най-голямото число в таблицата ще е записано в долния ляв ъгъл. Сборът на всички числа в таблицата е .
Ако оцветим таблицата шахматно така, че да е в черно поле, сборът на числата в черните полета ще еа сборът на числата в белите полета ще екоето означава, че след всеки ход. Това означава, че не съществува особена серпентина .
Забележка. По същия начин може да се докаже, че особена серпентина съществува само за нечетно .
Оценяване. За шахматно оцветяване и съображението, че сборът на числата в черните полета се променя по същия начин като сбора на числата в белите полета – 1 т.
а) Доказателство, че в централното квадратче е записана 0 – 2 точки.
Пример как се стига до таблица само с 0 – 2 точки.
б) Доказателство, че разликата на сбора на числата в черните полета и сбора на числата в белите полета е ненулева константа – 2 точки.2025
4 задачиЗадача 1
Условие
По маршрута на велопоход има 9 пункта за вода – първият е на старта, а деветият е на финала. Пунктовете са на равни разстояния един от друг. Георги стартирал в 8:00 часа и когато изминал от маршрута, пресметнал, че му остават още 3 km до следващия пункт за вода. а) Колко километра е дължината на маршрута? б) Георги и Иван пристигнали на финала в 12:00 часа. Ако скоростта на Георги е била с 20% по-малка от скоростта на Иван, намерете в колко часа е стартирал Иван.Решение
а) Пунктовете за вода разделят маршрута на 8 равни части. Тъй катов момента, в който Георги е изминал от маршрута, до следващия пункт му оставаот маршрута, което по условие е 3 km. Следователно дължината на маршрута е km. (3 точки) б) Ако скоростта на Иван е km/h, то скоростта на Георги е . Тъй като Георги е изминал пътя за 4 часа, неговата скорост е била km/h. Получавамеоткъдето km/h. (2 точки) Иван е изминал маршрута за h, т.е. за 3 h 12 min. Щом е финиширал в 12:00, той е стартирал в 8:48. (1 точка)Задача 2
Условие
В клетките на таблица с 2 реда и 60 стълба последователно се записват числа по следния начин: • в двете клетки на първия стълб се записва числото 5; • на първия ред във всяка клетка след първата се записва число, равно на , където е числото в предишната клетка в първия ред; • на втория ред във всяка клетка след първата се записва число, равно на , където е числото в предишната клетка във втория ред. В колко колони на таблицата са записани две равни числа?Решение
Второто число на първия ред етретото ечетвъртото епетото еТова означава, че на първия ред периодично се повтарят числата , , , . (2 точки) На втория ред второто число етретото ечетвъртото епетото ешестото еседмото еСледователно на втория ред периодично се повтарят числата , , , , , . (3 точки) Колона с две равни числа може да се получи, само ако и в двете клетки на тази колона е записано числото 5. Тъй като , колоните с равни числа са . (1 точка)Задача 3
Условие
Даден е триъгълник . Върху страната са избрани точки и така, че е между и , а върху страната са избрани точки , и в този ред, считано от върха .
Дадените точки разделят страните на триъгълника, като:където , , , , , са едноцифрени естествени числа иа) Намерете числата , , , , , .
б) Разстоянията от точките , и до правата са равни съответно на , и , а разстоянията от точките и до правата са равни съответно на и . Акодокажете, че триъгълникът е равнобедрен.Решение
а) От следва, чеЕдинствените различни едноцифрени числа, за които това равенство е изпълнено, са , , . (Ясно е, че не може да е 1; най-голямото събираемо в сбора е , следователно , откъдето следва, че . Тогава и тъй като , получаваме , следователно , а .) Тъй като всички търсени числа са едноцифрени, подредени в нарастващ ред, то , , . (2 точки) б) Нека с и означим височините в триъгълника към страните и съответно. От следва, че , а тъй като тези триъгълници имат обща страна , получаваме, че . От следва, че , откъдето , а тъй като тези триъгълници имат обща страна , получаваме, че . По същия начин, от следва, че , откъдето , а тъй като тези триъгълници имат обща страна , получаваме, че . Следователно(2 точки) От следва, че , а тъй като тези триъгълници имат обща страна , получаваме, че . От следва, че , а тъй като тези триъгълници имат обща страна , получаваме, че . Следователно(2 точки) Като заместим в даденото равенство , получаваме, че . Следователно , т.е. триъгълникът е равнобедрен. (1 точка)Задача 4
Условие
Равностранен триъгълник със страна 45 cm е разделен на клетки с форма на равностранен триъгълник със страна 1 cm (виж фигура 1). В някои две клетки от триъгълника са поставени паяк и скакалец.
Паякът с един ход може да се премести във всяка клетка, която има обща страна или връх с тази, в която се намира (фигура 2). В никоя клетка той не стъпва повече от веднъж.
Скакалецът за един ход прескача по три клетки в показаните посоки и скача в една от шестте клетки, посочени със стрелки на фигура 3. В никоя клетка той не стъпва повече от веднъж.
Най-много колко клетки може да посети всяко насекомо?
Посочете (чрез пример) от коя клетка тръгва насекомото и как се движи, за да посети най-много клетки. Докажете, че не може да посети по-голям брой клетки.Решение
Ако поставим паяка в клетка във връх на триъгълника, той може да обиколи всички клетки ред по ред.
На първия ред има 1 клетка, на втория 3, на третия 5 и т.н. На 45-ия ред има клетки. Следователно общият брой клетки, които може да обходи паякът, е(2 точки)
Нека поставим скакалеца в някоя от клетките, които се намират във връх на триъгълника. Оцветяваме тази клетка в черно и продължаваме да оцветяваме през ред, като оцветяваме първата и и всяка четвърта клетка по този ред. При това оцветяване, ако скакалецът тръгне от черна клетка, той винаги попада отново в черна.
Скакалецът може да обиколи всички черни клетки, като мине последователно по нечетните редове, както е показано на схемата.
Общият брой на оцветените клетки е(3 точки)
За да се убедим, че по-дълъг маршрут е невъзможен, ще оцветим клетките в осем цвята. На чертежа във всяка клетка е записан номерът на нейния цвят; на нечетните редове се редуват цветовете 1, 5, 6, 7, а на четните редове се редуват цветовете 2, 4, 3, 8. При това оцветяване скакалецът може да посещава клетки само от един и същ цвят.
Клетките от всеки от цветовете 2, 3, 4, 5, 6 и 7, са , а клетките от цвят 8 са .
(2 точки)