maths.bgmaths.bg
Всички колекции
KMBOM

Контролно за национален отбор за МБОМ

66 задачи от базата, подредени за бързо решаване по година или клас. Показаните източници са тези, записани към самите задачи.

10 години1 класаИма видими липси
По годинаПо клас

Избрана година

2017

Назад към папките

Открити липси за попълване от източника

  • 2017 · 7: липсва задача 6

7

3 задачи

Задача 5

Пълен запис
Условие
От петата DD на височината CDC D в триъгълник ABCA B C са спуснати перпендикуляри към BCB C и ACA C, които ги пресичат съответно в точки MM и NN. Нека ∠CAB=60∘,∠CBA=45∘\angle C A B=60^{\circ}, \angle C B A=45^{\circ}, а HH е ортоцентърът на △MNC\triangle M N C. Ако OO е средата на CDC D, да се намери ∠COH\angle C O H.
РешениеНамираме ∠ACB=75∘\angle A C B=75^{\circ} и ∠OCN=30∘\angle O C N=30^{\circ}. Отсечката CDC D се вижда под прав ъгъл от точките MM и NN, следователно около четириъгълника MDNCM D N C може да се опише окръжност; оттук ∠NMC=∠NDC=60∘\angle N M C=\angle N D C=60^{\circ}. Тогава ∠HCM=30∘\angle H C M=30^{\circ} и намираме ∠COH=75∘−2⋅30∘=15∘\angle C O H=75^{\circ}-2 \cdot 30^{\circ}=15^{\circ}.
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmbom2017-7-5

Задача 7

Пълен запис
Условие
Правоъгълник 9×19 \times 1 е разрязан на единични квадратчета. В него трябва да се начертае несамопресичаща се начупена линия от долния ляв до горния десен ъгъл, която минава през всичките 20 върхове на квадратчета и се разделя от тях на 19 отсечки. Колко такива линии има?
РешениеВърховете от долния ред трябва да бъдат обхождани отляво надясно; същото важи и за върховете от долния ред. Следователно всяка линия може да се кодира с дума от 9 букви ∂\partial и 9 букви г в зависимост от това дали поредната точка е от долния или от горния ред (крайните точки са ясни, така че не се кодират). Броят на тези думи е 18!9!9!=48620\frac{18!}{9!9!}=48620.
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmbom2017-7-7

Задача 8

Пълен запис
Условие
Намерете най-малкото естествено число nn, такова че числото 3k+nk+(3n)k+2014k3^{k}+n^{k}+(3 n)^{k}+2014^{k} е точен квадрат за някое естествено kk, но не е точен куб за никое естествено kk.
РешениеНека n=1n=1. При k=1k=1 получаваме 2021, което не е точен квадрат, а при k≥2k \geq 2 изразът дава остатък 3 при деление на 4, така че не може да бъде точен квадрат. Нека n=2n=2. При k=1k=1 получаваме 2025, което е точен квадрат. Да допуснем, че изразът е точен куб за някое kk. При деление на 7 точните кубове дават остатъци 0, 1 или 6, докато изразът дава остатъци 2, 4 или 5 и те не съвпадат. Отговор: n=2n=2.
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmbom2017-7-8