maths.bgmaths.bg
Всички колекции
KMBOM

Контролно за национален отбор за МБОМ

66 задачи от базата, подредени за бързо решаване по година или клас. Показаните източници са тези, записани към самите задачи.

10 години1 класаИма видими липси
По годинаПо клас

Избрана година

2019

Назад към папките

7

4 задачи

Задача 5

Пълен запис
Условие
Окръжност е разделена на равни дъги чрез 24 точки. За кое най-голямо kk съществува изпъкнал kk-ъгълник с върхове сред тези точки, никои две страни на който не са успоредни?
РешениеНека точките са поред A,B,C,…,XA, B, C, \ldots, X. Ако са избрани четирите върха на някой от ABMN,CDOP,EFQR,GHST,IJUV,KLWXA B M N, C D O P, E F Q R, G H S T, I J U V, K L W X, то в kk-ъгълника има две успоредни страни. Следователно трябва k≤6⋅3=18k \leq 6 \cdot 3=18. За k=18k=18 да вземем ABCDEFGHIJKLMOQSUWA B C D E F G H I J K L M O Q S U W; ако има успоредни страни, те трябва да са от различни страни на диаметъра AMA M. Но от едната му страна върховете са поредни, а от другата са през един, така че двете свързващи дъги не могат да са равни, понеже се състоят от общо нечетен брой единични дъгички: абсурд.
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmbom2019-7-5

Задача 6

Пълен запис
Условие
Да се намерят всички двойки цели числа ( x;yx; y ), такива че2x4+4y4+(10y+1)x2+(4x+25)y2=2019.2 x^{4}+4 y^{4}+(10 y+1) x^{2}+(4 x+25) y^{2}=2019.
РешениеЗаписваме условието във видаx4+x4+10x2y+25y2+x2+4xy2+4y4=2019x4+(x2+5y)2+(x+2y2)2=2019\begin{gathered} x^{4}+x^{4}+10 x^{2} y+25 y^{2}+x^{2}+4 x y^{2}+4 y^{4}=2019 \\ x^{4}+\left(x^{2}+5 y\right)^{2}+\left(x+2 y^{2}\right)^{2}=2019 \end{gathered}При ∣x∣≥7|x| \geq 7 лявата страна е поне 2401: абсурд. Също по модул 4 остатъкът на 2019 е 3, а на точните квадрати е 0 или 1, така че събираемите вляво са нечетни, в частност xx е нечетно. По модул 5 остатъкът на 2019 е 4, на x4x^{4} е 0 или 1 (защо?), а на точните квадрати е 0, 1 или 4. Имаме x2≡x2+5y( mod 5)x^{2} \equiv x^{2}+5 y(\bmod 5), така че x4≡(x2+5y)2( mod 5)x^{4} \equiv\left(x^{2}+5 y\right)^{2}(\bmod 5) и е възможно само x4≡0( mod 5)x^{4} \equiv 0(\bmod 5). Тогава x=±5x= \pm 5 и в уравнението (25+5y)2+(2y2±5)2=1394(25+5 y)^{2}+\left(2 y^{2} \pm 5\right)^{2}=1394 вторият квадрат е нечетен, така че първият е нечетен, кратен на 5 и не по-голям от 1394, т. е. някое от числата 52,152,2525^{2}, 15^{2}, 25^{2} и 35235^{2}. Проверката дава решенията (5;2)(5; 2) и (5;−4)(5; -4).
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmbom2019-7-6

Задача 7

Пълен запис
Условие
На страните BC,CAB C, C A и ABA B на △ABC\triangle A B C извън △ABC\triangle A B C са построени равностранните △BCA1,△CAB1\triangle B C A_{1}, \triangle C A B_{1} и △ABC1\triangle A B C_{1}. Права mm през средата MM на отсечката A1B1A_{1} B_{1} е перпендикулярна на правата ABA B. Права nn през средата NN на B1C1B_{1} C_{1} е перпендикулярна на BCB C. Права pp през средата PP на C1A1C_{1} A_{1} е перпендикулярна на CAC A. Докажете, че m,nm, n и pp минават през една точка.
РешениеНека A0,B0,C0,KA_{0}, B_{0}, C_{0}, K и TT са средите съответно на BC,CA,AB,CA1B C, C A, A B, C A_{1} и CB1C B_{1} По І признак ΔA0CB0,ΔA0TM\Delta A_{0} C B_{0}, \Delta A_{0} T M и ΔMKB0\Delta M K B_{0} са еднакви, така че ΔMA0B0\Delta M A_{0} B_{0} е равностранен и mm е симетрала за A0B0A_{0} B_{0}, т. е. тя съдържа центъра OO на описаната окръжност около ΔA0B0C0\Delta A_{0} B_{0} C_{0}. По същите причини nn и pp съдържат OO.
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmbom2019-7-7

Задача 8

Пълен запис
Условие
а) Съществуват ли реални многочлени P,Q,RP, Q, R на променливите x,y,zx, y, z такива, че за всички реални стойности на променливите е изпълнено(x+2018y+2019z)2⋅P(x+2018 y+2019 z)^{2} \cdot P+(x+2019y+2018z)2⋅Q+(x+y+z+2019)2⋅R=+(x+2019 y+2018 z)^{2} \cdot Q+(x+y+z+2019)^{2} \cdot R=20192?2019^{2}?б) Съществуват ли реални многочлени A,BA, B и CC на променливите x,yx, y такива, че за всички реални стойности на променливите е изпълнено (x+y+2019)2⋅A+x2⋅B+y2⋅C=20192(x+y+2019)^{2} \cdot A+x^{2} \cdot B+y^{2} \cdot C=2019^{2}? (Припомняме, че реален едночлен на променливите x,y,zx, y, z е израз от вида KxmynzpK x^{m} y^{n} z^{p}, където KeK e реално число, а m,n,pm, n, p са иели неотрицателни числа, а реален многочлен на тези променливи е сума на краен брой (възможно един) реални едночлени.)
Решениеа) Не, при x=−2y−2019,z=y=20194035x=-2 y-2019, z=y=\frac{2019}{4035} бихме получили абсурда 0.(P+Q+R)=201920.(P+Q+R)=2019^{2}. б) Ако заменим xx с 2019x,y2019 x, y с 2019y2019 y и съкратим полученото на 201922019{ }^{2}, трябва да осигурим (x+y+1)2A+x2B+y2C=1(x+y+1)^{2} A+x^{2} B+y^{2} C=1. Ако умножим (x+y+1)2=x2+y2+2xy+2x+2y+1(x+y+1)^{2}=x^{2}+y^{2}+2 x y+2 x+2 y+1 по 1−2xy−2x−2y1-2 x y-2 x-2 y, полученото можем да представим във вида Px2+Qy2+1−8xyP x^{2}+Q y^{2}+1-8 x y за подходящи многочлени P,QP, Q. Ако сега умножим по 1+8xy1+8 x y, полученото можем да представим във вида −Bx2−Cy2+1-B x^{2}-C y^{2}+1.
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmbom2019-7-8