maths.bgmaths.bg
Всички колекции
KMBOM

Контролно за национален отбор за МБОМ

66 задачи от базата, подредени за бързо решаване по година или клас. Показаните източници са тези, записани към самите задачи.

10 години1 класаИма видими липси
По годинаПо клас

Избрана година

2020

Назад към папките

7

3 задачи

Задача 1

Пълен запис
Условие
Да се намерят всички двойки естествени числа ( m;nm; n ), такива че m3−2n=3311m^{3}-2^{n}=3311.
РешениеПо модул 7 остатъкът на m3m^{3} е 0, 1 или 6, на 2n2^{n} е 1, 2 или 4, а на 3311 е 0, така че трябва остатъкът на 2n2^{n} да е 1, което се случва при n=3kn=3 k. Получаваме m3−23k=3311m^{3}-2^{3 k}=3311, т. е.(m−2k)(m2+m⋅2k+22k)=7⋅11⋅43.\left(m-2^{k}\right)\left(m^{2}+m \cdot 2^{k}+2^{2 k}\right)=7 \cdot 11 \cdot 43.Вторият множител е по-голям от квадрата на първия, така че имаме само вариантите: (∗)(*) m−2k=1;m2+m.2k+22k=3311,m2−2.m.2k+22k=1,3.m.2k=3310:m-2^{k}=1; m^{2}+m.2^{k}+2^{2 k}=3311, m^{2}-2. m.2^{k}+2^{2 k}=1, 3. m.2^{k}=3310: абсурд; (∗)(*) m−2k=7;m2+m⋅2k+22k=473,m2−2⋅m⋅2k+22k=49,3⋅m⋅2k=424m-2^{k}=7; m^{2}+m \cdot 2^{k}+2^{2 k}=473, m^{2}-2 \cdot m \cdot 2^{k}+2^{2 k}=49, 3 \cdot m \cdot 2^{k}=424: абсурд; (∗)(*) m−2k=11;m2+m⋅2k+22k=301,m2−2⋅m⋅2k+22k=121,3⋅m⋅2k=180m-2^{k}=11; m^{2}+m \cdot 2^{k}+2^{2 k}=301, m^{2}-2 \cdot m \cdot 2^{k}+2^{2 k}=121, 3 \cdot m \cdot 2^{k}=180, което предвид първото равенство води до m=15,k=2,n=6m=15, k=2, n=6.
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmbom2020-7-1

Задача 2

Пълен запис
Условие
На ръбовете на куб (по едно на ръб) са записани 12 различни естествени числа, най-голямото от които е gg, а най-малкото е mm. Сборът от числата на трите ръба през всеки връх е един и същ. Намерете най-малката възможна стойност на g−mg-m.
РешениеЯвно g−m≥11g-m \geq 11. Ако допуснем, че g−m=11g-m=11, то удвоеният сбор на числата по ръбовете 2(12m+1+2+…+11)=24m+1322(12 m+1+2+\ldots+11)=24 m+132 е равен на сбора във върховете, така че се дели на 8, т. е. 8 дели 132: абсурд. Вдясно има пример с gg m=12m=12.
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmbom2020-7-2

Задача 3

Пълен запис
Условие
Намерете най-голямата стойност на израза x2a−1a+b+x2b−1b+c+x2c−1c+a\frac{\sqrt{\vphantom{x^2}a-1}}{a+b}+\frac{\sqrt{\vphantom{x^2}b-1}}{b+c}+\frac{\sqrt{\vphantom{x^2}c-1}}{c+a}, ако реалните числа a,b,ca, b, c са не по-малки от 1.
РешениеСпоред САСГ x2a−1a+b≤x2a−12x2ab=12x2(1−1a)1b≤14(1−1a+1b)\frac{\sqrt{\vphantom{x^2}a-1}}{a+b} \leq \frac{\sqrt{\vphantom{x^2}a-1}}{2 \sqrt{\vphantom{x^2}a b}}=\frac{1}{2} \sqrt{\vphantom{x^2}\left(1-\frac{1}{a}\right) \frac{1}{b}} \leq \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right). Събирайки \quad с аналогичните x2b−1b+c≤14(1−1b+1c),x2c−1c+a≤14(1−1c+1a)\frac{\sqrt{\vphantom{x^2}b-1}}{b+c} \leq \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right), \frac{\sqrt{\vphantom{x^2}c-1}}{c+a} \leq \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right), заключаваме, че изразът е не поголям от 34\frac{3}{4}. Равенство се достига за a=b=c=2a=b=c=2.
Отвори задачатаБаза на maths.bgkmbom2020-7-3