maths.bgmaths.bg
Всички колекции
OLINAT

Национална олимпиада по математика — национален кръг

115 задачи от базата, подредени за бързо решаване по година или клас. Показаните източници са тези, записани към самите задачи.

18 години5 класаИма видими липси
По годинаПо клас

Избран клас

10

Назад към папките

2023

4 задачи

Задача 1

Пълен запис
Условие
Да се реши системата ∣ x+a=y+bx3+a3=y3+b3\left\lvert\, \begin{aligned} & x+a=y+b \\ & x^{3}+a^{3}=y^{3}+b^{3}\end{aligned}\right., където a≠0a \neq 0 и b≠0b \neq 0 са реални параметри.
РешениеЗаписваме второто уравнение във вида (x+a)((x+a)2−3ax)=(y+b)((y+b)2−3by(x+a)\left((x+a)^{2}-3 a x\right)=(y+b)((y+ b)^{2}-3 b y ). При x+a=0x+a=0 получаваме то (x,y)=(−a,−b)(x, y)=(-a, -b). Нека x+a≠0x+a \neq 0. Тогава y+b≠0y+b \neq 0 и получаваме (x+a)2−3ax=(y+b)2−3by(x+a)^{2}-3 a x=(y+b)^{2}-3 b y, откъдето 3ax=3by3 a x=3 b y. Тогава y=axby=\frac{a x}{b} и заместването в първото уравнение дава x(1−ab)=b−ax\left(1-\frac{a}{b}\right)=b-a. При a=ba=b получаваме решенията (x,y)=(x,x)(x, y)=(x, x), а при a≠ba \neq b намираме (x,y)=(b,a)(x, y)=(b, a).
Отвори задачатаБаза на maths.bgolinat2023-10-1

Задача 2

Пълен запис
Условие
Да се определи при кои стойности на реалния параметър mm, неравенството4x2−m2x2+x+1+m34x≥04^{x^{2}}-m 2^{x^{2}+x+1}+m^{3} 4^{x} \geq 0е изгълнено за всяко цяло число xx.
РешениеПолагаме 2x2−x=t,t>02^{x^{2}-x}=t, t\gt{}0 и достигаме до неравенството t2−2mt+m3≥0t^{2}-2 m t+m^{3} \geq 0. Ако xx е цяло число, то t=2x2−xt=2^{x^{2}-x} е измежду числата 1,2,4,8,…1, 2, 4, 8, \ldots. Така задачата се свежда до намиране на тези стойности на mm, за които неравенството t2−2mt+m3≥0t^{2}-2 m t+m^{3} \geq 0 е в сила за всяко t∈{1,2,4,8,…}t \in\{1, 2, 4, 8, \ldots\}. Случай 1. Ако D=4m2−4m3=4m2(1−m)≤0D=4 m^{2}-4 m^{3}=4 m^{2}(1-m) \leq 0, т. е. m≥1m \geq 1, то неравенството е вярно не само за всички цели, но и за всички реални стойности на xx. Случай 2. Ако D=4m2(1−m)>0D=4 m^{2}(1-m)\gt{}0, то m<1m\lt{}1, върхът на параболата има абсциса mm и следователно е необходимо 1 да е надясно от корените, т. е.f(1)≥0⇔m3−2m+1≥0⇔(m−1)(m2+m−1)≥0f(1) \geq 0 \Leftrightarrow m^{3}-2 m+1 \geq 0 \Leftrightarrow(m-1)\left(m^{2}+m-1\right) \geq 0откъдето m∈[−1−x252,−1+x252]m \in\left[\frac{-1-\sqrt{\vphantom{x^2}5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{\vphantom{x^2}5}}{2}\right]. Окончателно получаваме m∈[−1−x252,−1+x252]∪[1,+∞)m \in\left[\frac{-1-\sqrt{\vphantom{x^2}5}}{2}, \frac{-1+\sqrt{\vphantom{x^2}5}}{2}\right] \cup[1, +\infty)
Отвори задачатаБаза на maths.bgolinat2023-10-2

Задача 3

Пълен запис
Условие
Върху страната BCB C на △ABC\triangle A B C е избрана вътрешна точка KK така, че 2∠BAK=3∠KAC2 \angle B A K=3 \angle K A C. Да се докаже, че AB2⋅AC3>AK5A B^{2} \cdot A C^{3}\gt{}A K^{5}.
РешениеДа означим ∠BAC=α\angle B A C=\alpha и да построим точките D0,D1,…,D5D_{0}, D_{1}, \ldots, D_{5} във вътрешността и по контура на ∠BAC\angle B A C така, че B≡D0,C≡D5B \equiv D_{0}, C \equiv D_{5}, а за i=0,1,…,4i=0, 1, \ldots, 4 да имаме ∠DiADi+1=15∠BAC\angle D_{i} A D_{i+1}=\frac{1}{5} \angle B A C, и ADi5=AB5−i.ACiA D_{i}^{5}=A B^{5-i}. A C^{i}. Тогава триъгълниците DiADi+1D_{i} A D_{i+1}, i=0,1,…,4i=0, 1, \ldots, 4, са подобни (по равни отношение на две страни и ъгъл между тях). Нещо повече, имаме ∠D0D1D2=∠D0D1A+∠AD1D2=∠BD1A+ABD1=180∘−α5<180∘\angle D_{0} D_{1} D_{2}=\angle D_{0} D_{1} A+\angle A D_{1} D_{2}=\angle B D_{1} A+A B D_{1}=180^{\circ}-\frac{\alpha}{5}\lt{}180^{\circ} и аналогично ∠DiDi+1Di+2<180∘\angle D_{i} D_{i+1} D_{i+2}\lt{}180^{\circ} за i=1,2,3,4i=1, 2, 3, 4. Следователно многоъгълникът ABD1D2D3D4CA B D_{1} D_{2} D_{3} D_{4} C е изпъкнал, а в него диагоналите BCB C и AD3A D_{3} се пресичат в точка KK, вътрешна за отсечката AD3A D_{3}. Оттук AK<AD3=AB2/5⋅AC3/5A K\lt{}A D_{3}=A B^{2 / 5} \cdot A C^{3 / 5}, откъдето следва исканото неравенство.
Отвори задачатаБаза на maths.bgolinat2023-10-3

Задача 4

Пълен запис
Условие
Ще наричаме едно 10 -цифрено естествено число добро, ако цифрите му са две по две различни. Нека AA е броят на добрите числа, които остават добри и след умножение с 2, а BB е броят на добрите числа, които остават добри и след умножение с 5. Да се намери отношението AB\frac{A}{B}.
РешениеЗа всяко добро число a1a2…a10‾\overline{a_{1} a_{2} \ldots a_{10}}, да образуваме периодичната десетична дроб α=0,(a1a2…a10)\alpha=0, \left(a_{1} a_{2} \ldots a_{10}\right). Ще наричаме добра всяка такава десетична дроб. Ако α\alpha и {2α}\{2 \alpha\} са добри, ще казваме, че α\alpha е AA-добра и аналогично, ако α\alpha и {5α}\{5 \alpha\} са добри, ще казваме, че α\alpha е BB-добра. За всяка добра дроб α\alpha, да разгледаме множествотоSα={α,{10α},{102α},…,{109α}}.S_{\alpha}=\left\{\alpha, \{10 \alpha\}, \left\{10^{2} \alpha\right\}, \ldots, \left\{10^{9} \alpha\right\}\right\}.Очевидно всяка дроб от SαS_{\alpha} поражда отново SαS_{\alpha}. Да забележим още, че всички дроби в едно такова множество са едновременно AA-добри или едновременно BB-добри. Ако дробта α\alpha е AA-добра, то {2α}\{2 \alpha\} е BB-добра и, аналогично, ако α\alpha е BB-добра, то {5α}\{5 \alpha\} е AA-добра. Освен това множествата, съпоставени на α\alpha и 5{2α}5\{2 \alpha\} (или 2{5α}2\{5 \alpha\} ) са всъщност едно и също множество, т. е. Sα=S5{2α}=S2{5α}S_{\alpha}=S_{5\{2 \alpha\}}=S_{2\{5 \alpha\}}. По този начин получаваме взаимно-еднозначно съответствие между множествата, съпоставени на AA-добри дроби, и множествата, съпоставени на BB-добри дроби. В частност, броят на множествата от двата вида е един и същ. Във всяко множество, съпоставено на AA-добра дроб, има точно четири дроби, чиито периоди представляват AA-добри числатова са точно дробите, чиито периоди започват с 1,2,31, 2, 3 или 4, защото в този случай {2α}=2α\{2 \alpha\}=2 \alpha (последното равенство е вярно и когато периодът започва с 0, но такава дроб не отговаря на добро число). Аналогично, всяко множество, съпоставено на BB-добра дроб, съдържа точно една дроб, чийто период представлява BB-добро числотази, чийто период започва с 1. Понеже всяко добро число е период на дроб в някое от множествата SαS_{\alpha}, горните разсъждения означават, че A=4BA=4 B, т. е. търсеното отношение е AB=4\frac{A}{B}=4.
Отвори задачатаБаза на maths.bgolinat2023-10-4