maths.bgmaths.bg
Всички колекции
PMS

Пролетни математически състезания

310 задачи от базата, подредени за бързо решаване по година или клас. Показаните източници са тези, записани към самите задачи.

16 години5 класаИма видими липси
По годинаПо клас

Избрана година

2012

Назад към папките

Открити липси за попълване от източника

  • emt2012-8-3: има placeholder текст

8

3 задачи

Задача 2

Пълен запис
Условие
Върху страните AB=1,BCA B=1, B C и CAC A на равностранен триъгълник ABCA B C са избрани съответно точки M,N,QM, N, Q, така че отсечките AN,BQA N, B Q и CMC M да разделят триъгълника ABCA B C на четири тричтълника и три четириъгълника. Оцветяваме всеки триъгълник в синьо или жълто, така че триъгълниците с общ връх да са разноцветни. Ако синята и жълтата част имат равни лица, да се пресметне AM+BN+CQA M+B N+C Q.
РешениеНека AM=m,BN=n,CQ=q,D∈AN∩BQ,E∈CM∩BQ,F∈AN∩CMA M=m, B N=n, C Q=q, D \in A N \cap B Q, E \in C M \cap B Q, F \in A N \cap C M. Имаме две възможни разположения на точките: Случай А: FF е между AA и DD; тогава DD е между BB и EE и EE е между CC и FF. Имаме SABC=SANB+SCMA+SBQC−SAFM−SBDN−SCEQ+SDEF=(m+n+p)SABCS_{A B C}=S_{A N B}+S_{C M A}+S_{B Q C}-S_{A F M}-S_{B D N}-S_{C E Q}+S_{D E F}=(m+n+p) S_{A B C}, понеже синята и жълтата площ са равни. Оттук m+n+q=1m+n+q=1. (Зт.) Случай Б: DD е между AA и FF; тогава EE е между BB и DD и FF е между CC и EE. Имаме SABC=SANC+SCMB+SBQA−SADQ−SBEM−SCFN+SDEF=(1−m+1−n+1−p)SABCS_{A B C}=S_{A N C}+S_{C M B}+S_{B Q A}-S_{A D Q}-S_{B E M}-S_{C F N}+S_{D E F}=(1-m+1-n+1-p) S_{A B C}, понеже синята и жълтата площ са равни. Оттук m+n+q=2m+n+q=2. (3т.)
Отвори задачатаБаза на maths.bgemt2012-8-2

Задача 3

Нужна е проверка
Условие
BLANK BLANK BLANK
РешениеBLANK BLANK BLANK
Отвори задачатаБаза на maths.bgemt2012-8-3

Задача 4

Пълен запис
Условие
Едно естествено число nn ще наричаме обикновено, ако има нечетен брой различни начини за представяне на nn като сбор на две или повече поредни естествени числа. Колко са обикновените числа, по-малки от 2012?
РешениеЗа всеки нечетен делител qq на nn получаваме различно представяне на nn като сбор на едно или повече поредни естествени числа по следния начин: Нека d=n/qd=n / q. Да разположим qq поредни цели числа така, че средното от тях да е dd. Ако всички тези цели числа са естествени, имаме представяне на nn като сбор на нечетен брой естествени числа (1т.). Ако сред тези числа има неположителни, то техните противоположни също присъстват в сбора (0 е противоноложно на себе си). Ако има такива, да ги съкратим с противоположните им, Така получаваме представяне на nn като сбор на четен брой естествени числа (1т.). Обратно, ако nn е сбор на нечетен брой (q)(q) естествени числа и средното от тях е dd, то n=dqn=d q. Ако nn е сбор на четен брой естествени числа, да добавим към сбора всички по-малки естествени числа, техните противоположни и нулата. Получаваме представяне на nn като сбор на нечетен брой (q)(q) поредни цели числа; ако средното от тях е dd, то n=dqn=d q. Получените по този начин делители qq на nn за всяко представяне на nn като сбор на едно или повече поредни естествени числа са различни (1т). Следователно броят различни начини за представяне на nn като сбор на едно или повече поредни естествени числа е равен на броя на нечетните делители на nn (1т.). Като изключим представянето на nn като „сбор" на едно число, разбираме, че търсените в задачата числа са тези с четен брой нечетни делители. По-лесно е да преброим останалите числа: те имат нечетен брой нечетни делители, което се случва точно когато най-големият им нечетен делител rr е точен квадрат (понеже делителите се групират по двойки с произведение rr, броят им е нечетен точно когато някой е в двойка със себе си) (1т.). И така, числата, които не са обикновени, са точните квадрати (тук 12,22,32,…,4421^{2}, 2^{2}, 3^{2}, \ldots, 44^{2} ) и удвоените точни квадрати (тук 2⋅12,2⋅222 \cdot 1^{2}, 2 \cdot 2^{2}, 2⋅32,…,2⋅3122 \cdot 3^{2}, \ldots, 2 \cdot 31^{2} ) (1т.). Следователно броят на обикновените числа, по-малки от 2012, е 2011−31−44=19362011-31-44=1936 (1т.).
Отвори задачатаБаза на maths.bgemt2012-8-4