maths.bgmaths.bg
Всички колекции
TST

Evan Chen / USA TST Solutions

34 задачи от базата, подредени за бързо решаване по година или клас. Показаните източници са тези, записани към самите задачи.

10 години1 класаИма видими липси
По годинаПо клас

Избрана година

2021

Назад към папките

11-12

1 задача

Задача 1

Пълен запис
Условие
Да се определят всички цели числа s≥4s\ge4, за които съществуват положителни цели числа a,b,c,da,b,c,d такива, че s=a+b+c+ds=a+b+c+d и ss дели abc+abd+acd+bcdabc+abd+acd+bcd.
РешениеОтговорът е: точно съставните числа ss. Първо нека ss е съставно. Записваме s=(w+x)(y+z)s=(w+x)(y+z), където w,x,y,zw,x,y,z са положителни цели числа; например ако s=uvs=uv с u,v≥2u,v\ge2, можем да вземем w=1w=1, x=u−1x=u-1, y=1y=1, z=v−1z=v-1. Поставямеa=wy,b=wz,c=xy,d=xz.a=wy,\qquad b=wz,\qquad c=xy,\qquad d=xz.Тогаваa+b+c+d=(w+x)(y+z)=sa+b+c+d=(w+x)(y+z)=sиabc+abd+acd+bcd=wxyz(w+x)(y+z),abc+abd+acd+bcd=wxyz(w+x)(y+z),което е кратно на ss. Следователно всяко съставно ss работи. Остава да покажем, че просто ss не може да работи. Ако такива a,b,c,da,b,c,d са избрани, то(a+b)(a+c)(a+d)=abc+abd+acd+bcd+a2(a+b+c+d)≡0(mods).\begin{align*} (a+b)(a+c)(a+d)&=abc+abd+acd+bcd+a^2(a+b+c+d)\\ &\equiv0\pmod s. \end{align*}Понеже a,b,c,da,b,c,d са положителни и сборът им е ss, всяко от числата a+ba+b, a+ca+c, a+da+d е положително и по-малко от ss. Ако ss беше просто, то не би могло да дели произведение на такива ненулеви остатъци по модул ss. Значи ss не е просто. Алтернативно, при просто ss полиномът (x−a)(x−b)(x−c)(x−d)∈Fs[x](x-a)(x-b)(x-c)(x-d)\in\mathbb F_s[x] има нулеви коефициенти пред x3x^3 и пред xx, понеже a+b+c+d≡0(mods)a+b+c+d\equiv0\pmod s и abc+abd+acd+bcd≡0(mods)abc+abd+acd+bcd\equiv0\pmod s. Затова той е четен полином и корените му в Fs\mathbb F_s се групират в две противоположни двойки. Всяка такава двойка има представители сред положителните числа, чийто сбор е ss, така че общият сбор на a,b,c,da,b,c,d би бил поне 2s2s, противоречие.
Отвори задачатаEvan Chen VONVON TST 2021/1Условие — източник