APMO 1993/3 | maths.bg

Нека

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0

g(x)=c_{n+1}x^{n+1}+c_nx^n+\cdots+c_0

са ненулеви полиноми с реални коефициенти, за които

g(x)=(x+r)f(x)

при някое реално число

r

. Ако

a=\max(|a_n|,\ldots,|a_0|)\qquad\text{и}\qquad c=\max(|c_{n+1}|,\ldots,|c_0|),

докажете, че

\frac ac\le n+1.

Бележка към материала

Нека

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0

g(x)=c_{n+1}x^{n+1}+c_nx^n+\cdots+c_0

са ненулеви полиноми с реални коефициенти, за които

g(x)=(x+r)f(x)

при някое реално число

r

. Ако

a=\max(|a_n|,\ldots,|a_0|)\qquad\text{и}\qquad

c=\max(|c_{n+1}|,\ldots,|c_0|),

докажете, че

\frac ac\le n+1.

Да се реши уравнението

\frac{8^{x}-2^{x}}{6^{x}-3^{x}}=2

Дадена е функция

f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}

, такава че за всяко естествено число

n \geq 10

имаме

f(n+2023)= f(n)+f([\lg n])

, където

[x]

е цялата част на реалното число

x

. Да се докаже, че за произволно естествено число

k

, съществува естествено число

m

, такова че

k

дели

f(m)

Дадено е уравнението

x^{2}-2 p x+q^{2}+q-2=0

, където

p

q

са реални параметри. Да се намерят стойностите на параметъра

q\text{, }

при които уравнението има поне един корен в интервала

(-1; 0)

за всяка неотрицателна стойност на параметъра

p.

BLANK BLANK BLANK

Да се докаже, че за всеки три реални положителни числа

a, b, c

е изпълнено неравенството

\frac{a^{3}}{(a+b)^{3}}+\frac{b^{3}}{(b+c)^{3}}+\frac{c^{3}}{(c+a)^{3}} \geq \frac{3}{8}

Още задачи при скрол