olinat2020-9-6 | maths.bg

Нека

f(x)

е неконстантен полином с реални коефициенти. Редицата

\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}

от реални числа е неограничена и:

a_{i}\lt{}a_{i+1}\lt{}a_{i}+2020 \text{за всяко} i \in \mathbb{N}.

Целите числа

\left\lfloor\left|f\left(a_{1}\right)\right|\right\rfloor, \left\lfloor\left|f\left(a_{2}\right)\right|\right\rfloor, \left\lfloor\left|f\left(a_{3}\right)\right|\right\rfloor, \ldots

са записани последователно, така че техните цифри образуват безкрайна редица от цифри

\left\{s_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}

, като

s_{k} \in\{0, 1, \ldots, 9\}

. Да се докаже, че за всяко

n \in \mathbb{N}

, в множеството от числа

\overline{s_{n(k-1)+1} s_{n(k-1)+2} \ldots s_{n k}}, k \in \mathbb{N}

, се срещат всички

n

-цифрени числа.

Бележка към материала

Нека

f(x)

е неконстантен полином с реални коефициенти. Редицата

\left\{a_{i}\right\}_{i=1}^{\infty}

от реални числа е неограничена и:

a_{i}\lt{}a_{i+1}\lt{}a_{i}+2020 \text{за всяко} i \in \mathbb{N}.

Целите числа

\left\lfloor\left|f\left(a_{1}\right)\right|\right\rfloor, \left\lfloor\left|f\left(a_{2}\right)\right|\right\rfloor, \left\lfloor\left|f\left(a_{3}\right)\right|\right\rfloor, \ldots

са записани последователно, така че техните цифри образуват безкрайна редица от цифри

\left\{s_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}

, като

s_{k} \in\{0, 1, \ldots, 9\}

. Да се докаже, че за всяко

n \in \mathbb{N}

, в множеството от числа

\overline{s_{n(k-1)+1} s_{n(k-1)+2} \ldots s_{n k}}, k \in \mathbb{N}

, се срещат всички

n

-цифрени числа.

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Още задачи при скрол