olinat2023-9-3 | maths.bg

Нека

f(x)

е полином с естествени коефициенти. За всяко

n \in \mathbb{N}

нека

a_{1}^{(n)}, a_{2}^{(n)}, \ldots, a_{n}^{(n)}

са фиксирани естествени числа, които дават два по два различни остатъка при деление с

n

и нека

g(n)=\sum_{i=1}^{n} f\left(a_{i}^{(n)}\right)=f\left(a_{1}^{(n)}\right)+f\left(a_{2}^{(n)}\right)+\cdots+f\left(a_{n}^{(n)}\right).

Да се докаже, че съществува константа

M

, за която за всяко естествено число

m\gt{}M

имаме НОД

(m, g(m))\gt{}2023^{2023}

Бележка към материала

Нека

f(x)

е полином с естествени коефициенти. За всяко

n \in \mathbb{N}

нека

a_{1}^{(n)}, a_{2}^{(n)}, \ldots, a_{n}^{(n)}

са фиксирани естествени числа, които дават два по два различни остатъка при деление с

n

и нека

g(n)=\sum_{i=1}^{n} f\left(a_{i}^{(n)}\right)=

f\left(a_{1}^{(n)}\right)+f\left(a_{2}^{(n)}\right)+\cdots+f\left(a_{n}^{(n)}\right).

Да се докаже, че съществува константа

M

, за която за всяко естествено число

m\gt{}M

имаме НОД

(m, g(m))\gt{}2023^{2023}

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Още задачи при скрол