oliobl2021-10-4 | maths.bg

Едно 19 -цифрено число

A=\overline{a_{1} a_{2} \cdots a_{19}}

ще наричаме богато, ако

(*)

Всяка от цифрите му е или 1 или 2 (т. е.,

a_{i} \in\{1, 2\}, \forall i=1, 2, \ldots, 19

(*)

Никои две четирицифрени числа, съставени от 4 последователни цифри на

A

не съвпадат (т. е.,

\overline{a_{i} a_{i+1} a_{i+2} a_{i+3}} \neq \overline{a_{j} a_{j+1} a_{j+2} a_{j+3}}, \forall 1 \leq i \leq j \leq 16

). a) Да се покаже, че съществуват богати числа. б) Да се докаже, че за всяко богато число

A

е в сила

\overline{a_{1} a_{2} a_{3}}=\overline{a_{17} a_{18} a_{19}}

Бележка към материала

Едно 19 -цифрено число

A=\overline{a_{1} a_{2} \cdots a_{19}}

ще наричаме богато, ако

(*)

Всяка от цифрите му е или 1 или 2 (т. е.,

a_{i} \in\{1, 2\}, \forall i=1, 2, \ldots, 19

(*)

Никои две четирицифрени числа, съставени от 4 последователни цифри на

A

не съвпадат (т. е.,

\overline{a_{i} a_{i+1} a_{i+2} a_{i+3}} \neq \overline{a_{j} a_{j+1} a_{j+2} a_{j+3}}, \forall 1 \leq i \leq j \leq 16

). a) Да се покаже, че съществуват богати числа. б) Да се докаже, че за всяко богато число

A

е в сила

\overline{a_{1} a_{2} a_{3}}=\overline{a_{17} a_{18} a_{19}}

Вярно ли е, че за всеки полином

P(x)

с реални коефициенти и степен 2023 има естествено число

n

, такова че уравнението

P(x)=n^{-100}

няма рационален корен?

Да се реши в естествени числа уравнението

x^{4}+2^{y}=4 \cdot 5^{z}

Да се намери най-малкото естествено число

n

, за което уравнението

\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{n}{4 z^{2}+1}

няма

Дадена е безкрайна растяща редица от естествени числа

x_{1}, x_{2}, \ldots

За всяко естествено число

s

е изпълнено неравенството

x_{s+1}-x_{s} \leq 3

. Да се докаже, че съществуват безбройно много двойки различни естествени числа

m

n

, за които

x_{m}

дели

x_{n}

Върху страните

B C, C A

A B

на

\triangle A B C

, външно за триъгълника, са построени квадрати съответно с центрове

M, N

P

. Симетралите на отсечките

N P, P M

M N

пресичат страните

B C, C A

A B

съответно във вътрешни точки

A_{1}, B_{1}

C_{1}

. a) Да се намери отношението на лицата на триъгълниците

A_{1} B_{1} C_{1}

A B C

. б) Да се намерят ъглите

\angle N A_{1} P, \angle P B_{1} M

\angle M C_{1} N

Още задачи при скрол